Bac 2023, La Réunion : exercice 2

Question 1.

Limite en $0$.

Pour tout $x>0$, $f(x)=3x+1-2x\ln(x)$.

On a $\lim\limits_{x\to 0}(3x+1)=1$.

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0}x\ln(x)=0$, donc $\lim\limits_{x\to 0}\left(-2x\ln(x)\right)=0$.

Par somme, $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=1$.

Limite en $+\infty$.

La somme $3x+1-2x\ln(x)$ présente une forme indéterminée « $+\infty-\infty$ ». On factorise par $x$ : pour tout $x>0$,

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$, donc par somme et produit par $-2$ :

Comme de plus $\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty$, on obtient par produit $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

Donc $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=1$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=1$   $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

Question 2. a)

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ (admis par l'énoncé).

On dérive $x\mapsto 2x\ln(x)$ avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$, où $u(x)=2x$ et $v(x)=\ln(x)$, donc $u'(x)=2$ et $v'(x)=\dfrac1x$ :

Donc, pour tout $x>0$ :

Donc, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x)=1-2\ln(x)$.

Question 2. b)

Signe de $f'$. Pour $x>0$ :

car la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

De même, $f'(x)=0\iff x=\mathrm{e}^{1/2}$ et $f'(x)<0\iff x>\mathrm{e}^{1/2}$.

Variations. Donc $f'$ est strictement positive sur $]0\,;\mathrm{e}^{1/2}[$ et strictement négative sur $]\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty[$.

La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0\,;\mathrm{e}^{1/2}]$, puis strictement décroissante sur $[\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty[$.

Extremum. On calcule

Tableau de variations décrit en phrases : sur $]0\,;\mathrm{e}^{1/2}]$, $f$ croît de la limite $1$ (en $0$) jusqu'à son maximum $1+2\sqrt{\mathrm{e}}\approx 4{,}30$ atteint en $x=\mathrm{e}^{1/2}$   sur $[\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty[$, $f$ décroît de $1+2\sqrt{\mathrm{e}}$ jusqu'à la limite $-\infty$ (en $+\infty$).

Réponse : $f$ est strictement croissante sur $]0\,;\mathrm{e}^{1/2}]$, strictement décroissante sur $[\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty[$, et son maximum est $f\left(\mathrm{e}^{1/2}\right)=1+2\sqrt{\mathrm{e}}$.

Question 3. a)

Sur $]0\,;\mathrm{e}^{1/2}]$. La fonction $f$ est strictement croissante et $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=1$, donc pour tout $x\in]0\,;\mathrm{e}^{1/2}]$, $f(x)>1>0$.

Donc l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution sur $]0\,;\mathrm{e}^{1/2}]$.

Sur $[\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty[$. On vérifie les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour une fonction continue et strictement monotone) :

• $f$ est continue sur $[\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty[$, car dérivable

• $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle

• $f\left(\mathrm{e}^{1/2}\right)=1+2\sqrt{\mathrm{e}}>0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$, donc $0$ est une valeur comprise entre $f\left(\mathrm{e}^{1/2}\right)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$.

D'après ce théorème, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty[$, notée $\alpha$.

Conclusion : l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution sur $]0\,;\mathrm{e}^{1/2}]$ et une unique solution sur $[\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty[$.

Donc l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0\,;+\infty[$, et $\alpha>\mathrm{e}^{1/2}$.

Question 3. b)

La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0\,;\mathrm{e}^{1/2}]$ avec $f>0$ sur cet intervalle, puis strictement décroissante sur $[\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty[$ et s'annule en $\alpha$.

Donc, pour tout $x\in]0\,;\alpha[$, $f(x)>0$   $f(\alpha)=0$   et pour tout $x\in]\alpha\,;+\infty[$, $f(x)<0$.

Réponse : $f(x)>0$ sur $]0\,;\alpha[$ et $f(x)<0$ sur $]\alpha\,;+\infty[$.

Question 4.

Non, on ne peut pas affirmer que $F$ est strictement décroissante sur $\left[\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty\right[$.

En effet, $F$ est une primitive de $f$, donc $F'=f$.

D'après la question 3. a), $\alpha>\mathrm{e}^{1/2}$ et, d'après la question 3. b), $f(x)>0$ pour tout $x\in\left[\mathrm{e}^{1/2}\,;\alpha\right[$.

Donc $F'>0$ sur $\left[\mathrm{e}^{1/2}\,;\alpha\right[$, ce qui signifie que $F$ est strictement croissante sur cet intervalle, qui n'est pas réduit à un point.

Donc $F$ n'est pas strictement décroissante sur $\left[\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty\right[$ : elle est strictement croissante sur $\left[\mathrm{e}^{1/2}\,;\alpha\right]$ puis strictement décroissante sur $[\alpha\,;+\infty[$.

Question 5. a)

La fonction $f'$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et, pour tout $x>0$ :

Pour tout $x>0$, $-\dfrac2x<0$, donc $f''$ est strictement négative sur $]0\,;+\infty[$.

Donc la fonction $f$ est concave sur $]0\,;+\infty[$.

Une fonction concave a sa courbe située en dessous de chacune de ses tangentes : la courbe $\mathcal{C}_f$ est donc en dessous de toutes ses tangentes.

Question 5. b)

La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.

On a $f(1)=3\times1+1-2\times1\times\ln(1)=4$ et $f'(1)=1-2\ln(1)=1$.

Donc $T$ a pour équation $y=1\times(x-1)+4$, soit $y=x+3$.

Réponse : $T:\ y=x+3$.

Question 5. c)

D'après la question 5. a), la courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de sa tangente $T$ en tout point : pour tout $x>0$,

On remplace $f(x)$ par son expression :

On regroupe les termes :

On divise les deux membres par $2x$, qui est strictement positif, ce qui conserve le sens de l'inégalité :

Donc, pour tout réel $x$ strictement positif, $\ln(x)\geqslant 1-\dfrac1x$.

Points clés attendus

• Lever la forme indéterminée en $+\infty$ par factorisation et citer les croissances comparées en $0$.

• Dériver $2x\ln(x)$ avec la formule du produit et justifier le signe de $f'$ par la croissance de l'exponentielle.

• Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle où $f$ est continue et strictement monotone, en vérifiant les signes aux bornes, et traiter séparément l'intervalle où $f>0$.

• Lier le sens de variation de $F$ au signe de $F'=f$ pour répondre à la question 4.

• Déduire l'inégalité finale de la concavité (position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$), sans la redémontrer par étude de fonction.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.