Bac 2023, La Réunion : exercice 3

Partie A

Question 1. Réponse a.

On calcule les termes successifs avec $u_{n+1}=\dfrac12u_n+\dfrac12n+1$.

Pour $n=0$ :

Pour $n=1$ :

On a $\dfrac{11}{4}=2{,}75$, ce qui élimine les propositions $\dfrac{13}{2}=6{,}5$, $3{,}5$ et $2{,}7$.

(L'énoncé numérote deux propositions « b. » : la quatrième, $2{,}7$, est la proposition d.)

Donc $u_2=\dfrac{11}{4}$.

Réponse : a.

Question 2. Réponse b.

Pour tout entier naturel $n$, on exprime $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$ :

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$, de premier terme $v_0=u_0-0=3$.

Elle n'est pas arithmétique, puisque $v_1=\dfrac32$ et $v_2=\dfrac34$ donnent $v_1-v_0=-\dfrac32\neq v_2-v_1=-\dfrac34$. Elle n'est pas constante, puisque $v_1\neq v_0$.

Donc la proposition exacte est b.

Réponse : b.

Question 3. Réponse d.

Avant la boucle, U vaut $3=u_0$.

Lors du passage de la boucle où i prend la valeur $k$ (avec $0\leqslant k\leqslant n-1$), la variable U contient $u_k$ et doit être remplacée par

Cela correspond à l'instruction U = U/2 + i/2 + 1.

Les propositions a. et c. utilisent (i+1)/2 et (i-1)/2, ce qui décale l'indice   la proposition b. utilise n au lieu de l'indice courant i.

Après les $n$ passages ($i$ de $0$ à $n-1$), U contient $u_n$.

Réponse : d.

Partie B

Question 1.

Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : $n\leqslant u_n\leqslant n+3$.

Initialisation. On a $u_0=3$ et $0\leqslant 3\leqslant 0+3$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $k\leqslant u_k\leqslant k+3$ (hypothèse de récurrence). Montrons $\mathcal{P}(k+1)$ : $k+1\leqslant u_{k+1}\leqslant k+4$.

On multiplie chaque membre de l'hypothèse de récurrence par $\dfrac12>0$, ce qui conserve le sens des inégalités :

On ajoute $\dfrac12k+1$ à chaque membre :

Le membre de gauche vaut $k+1$, le membre central vaut $u_{k+1}$ et le membre de droite vaut $\dfrac12k+\dfrac32+\dfrac12k+1=k+\dfrac52$. Donc

Or $k+\dfrac52\leqslant k+4$, donc $k+1\leqslant u_{k+1}\leqslant k+4=(k+1)+3$ : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $n\leqslant u_n\leqslant n+3$.

Question 2.

Pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$ (question 1).

On a $\lim\limits_{n\to+\infty}n=+\infty$.

D'après le théorème de comparaison (si $u_n\geqslant n$ à partir d'un certain rang et $\lim n=+\infty$, alors $\lim u_n=+\infty$), on obtient $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.

Donc la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.

Question 3.

Pour tout entier $n\geqslant1$, on divise chaque membre de l'encadrement de la question 1 par $n>0$, ce qui conserve le sens des inégalités :

On a $\lim\limits_{n\to+\infty}1=1$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac3n\right)=1$.

D'après le théorème des gendarmes, la suite $\left(\dfrac{u_n}{n}\right)$ converge et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{n}=1$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{n}=1$.

Points clés attendus

• QCM : calculer $u_1$ puis $u_2$ exactement, et vérifier le décalage d'indice dans la boucle Python.

• Pour $(v_n)$, établir $v_{n+1}=\dfrac12v_n$ par calcul, et exclure les autres natures de suite.

• Récurrence rédigée avec Initialisation, Hérédité (hypothèse de récurrence énoncée) et Conclusion, en terminant par la majoration $k+\dfrac52\leqslant k+4$.

• Citer le théorème de comparaison pour $(u_n)$ et le théorème des gendarmes pour $\left(\dfrac{u_n}{n}\right)$, en divisant par $n>0$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.