Bac 2023, Amérique du Nord : exercice 4

Question 1. Réponse b.

Pour tout $x>1$, on écrit

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$.

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac1x\right)=1$ et, par quotient, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{1-\frac1x}=1$.

Par produit, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x-1}=0\times1=0$.

Donc, par différence, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0{,}05-0=0{,}05$.

Les propositions a. et c. sont exclues, car la limite est finie, et d. est exclue car la limite vaut $0{,}05$ et non $0$.

Réponse : b.

Question 2. Réponse c.

Sur l'intervalle $[1\,;3]$, la fonction $h$ est continue, $h(1)=4$ et $h(3)=-1$.

Le réel $1$ est compris entre $h(3)=-1$ et $h(1)=4$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel $a\in[1\,;3]$ tel que $h(a)=1$. La proposition c. est donc exacte.

Les autres propositions ne sont pas assurées par les données :

• a. : trois valeurs de $h$ ne déterminent pas son sens de variation   $h$ peut, par exemple, être décroissante puis croissante sur $[-1\,;1]$

• b. : de même, $h$ peut prendre des valeurs négatives entre $-1$ et $1$ tout en vérifiant $h(-1)=0$ et $h(1)=4$

• d. : le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une solution de $h(x)=1$, mais rien ne limite leur nombre à deux.

Réponse : c.

Question 3. Réponse b.

Pour tout $n$, $u_n>0$ et $v_n>0$.

Comme $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1{u_n}=0$.

On écrit $\dfrac{v_n}{u_n}=v_n\times\dfrac1{u_n}$. Par produit de deux suites de limite $0$, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{v_n}{u_n}=0$.

Donc la suite $\left(\dfrac{v_n}{u_n}\right)$ converge. La proposition b. est exacte.

Les autres propositions sont fausses :

• a. : $v_n>0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1{v_n}=+\infty$ : la suite $\left(\dfrac1{v_n}\right)$ diverge

• c. : contre-exemple $u_n=n+3+(-1)^n$, strictement positive, de limite $+\infty$, mais $u_0=4>u_1=3$ : la suite n'est pas croissante

• d. : $u_n$ est strictement positive, donc pour $n$ pair, $(-u_n)^n=u_n^n>0$ : la suite ne peut pas tendre vers $-\infty$.

Réponse : b.

Question 4. Réponse d.

Soit $G$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, mise de $4$ euros déduite. Le dé est équilibré : chaque face a la probabilité $\dfrac16$.

• Face $1$ : le joueur remporte $12$ euros, donc $G=12-4=8$, avec la probabilité $\dfrac16$.

• Faces $2$, $4$, $6$ (nombre pair) : le joueur remporte $3$ euros, donc $G=3-4=-1$, avec la probabilité $\dfrac36=\dfrac12$.

• Faces $3$ et $5$ : le joueur ne remporte rien, donc $G=-4$, avec la probabilité $\dfrac26=\dfrac13$.

Ces trois probabilités ont pour somme $\dfrac16+\dfrac12+\dfrac13=1$.

L'espérance de $G$ est

Donc, en moyenne, le joueur perd $0{,}50$ euro par partie.

Réponse : d.

Question 5. Réponse c.

Pour la loi binomiale $\mathcal{B}(3\,;p)$, $P(X=0)=\binom30p^0(1-p)^3=(1-p)^3$.

Donc $(1-p)^3=\dfrac1{125}=\left(\dfrac15\right)^3$.

La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc $1-p=\dfrac15$, soit $p=\dfrac45$.

La proposition c. est exacte, et a. est fausse.

On calcule alors

Comme $\dfrac{12}{125}\neq\dfrac{124}{125}$ et $\dfrac{12}{125}\neq\dfrac45$, les propositions b. et d. sont fausses.

Réponse : c.

Points clés attendus

• Question 1 : factoriser pour faire apparaître $\dfrac{\ln x}{x}$ et citer les croissances comparées.

• Question 2 : citer le théorème des valeurs intermédiaires en vérifiant la continuité et la position de $1$ entre $h(3)$ et $h(1)$.

• Question 3 : justifier chaque élimination par un calcul de limite ou un contre-exemple.

• Question 4 : définir le gain algébrique en déduisant la mise de $4$ euros, vérifier que les probabilités ont pour somme $1$, puis calculer l'espérance.

• Question 5 : exprimer $P(X=0)$ avec la loi binomiale, en déduire $p$ puis calculer $P(X=1)$.

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