Bac 2023, Centres étrangers 2 : exercice 4

Modélisation. On choisit au hasard $n$ pièces, avec remise (assimilation justifiée par le grand nombre de pièces produites). Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de succès « la pièce est défectueuse », de probabilité $p=0{,}04$, et les $n$ tirages sont identiques et indépendants.

Donc la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\;;\;0{,}04)$.

Question 1. Réponse b.

Ici $n=50$, donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(50\;;\;0{,}04)$.

L'évènement « tirer au moins une pièce défectueuse » est $\{X\geqslant1\}$, dont l'évènement contraire est $\{X=0\}$.

La proposition a est fausse, car $p(X=0)=0{,}96^{50}>0$ donc $p(X\geqslant1)<1$. Les propositions c et d (0,600 et 0,599) diffèrent de la valeur calculée.

Donc la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse est, au millième près, $0{,}870$.

Réponse : b. $0{,}870$.

Question 2. Réponse b.

La variable $X$ ne prend que des valeurs entières, et l'évènement $\{X\leqslant7\}$ est la réunion disjointe de $\{X\leqslant3\}$ et de $\{3<X\leqslant7\}$.

Donc $p(X\leqslant7)=p(X\leqslant3)+p(3<X\leqslant7)$, d'où

Les propositions a, c et d font intervenir $p(X>3)$, $p(X<7)$ ou $p(X\geqslant3)$, qui ne correspondent pas à cette égalité.

Donc $p(3<X\leqslant7)=p(X\leqslant7)-p(X\leqslant3)$.

Réponse : b.

Question 3. Réponse c.

On cherche le plus petit entier $k$ tel que $p(X\leqslant k)\geqslant0{,}95$, pour $X$ de loi $\mathcal{B}(50\;;\;0{,}04)$.

À la calculatrice, on obtient les valeurs approchées suivantes :

• $p(X\leqslant2)\approx0{,}677$

• $p(X\leqslant3)\approx0{,}861$

• $p(X\leqslant4)\approx0{,}951$

• $p(X\leqslant5)\approx0{,}986$.

La fonction $k\mapsto p(X\leqslant k)$ est croissante. On a $p(X\leqslant3)<0{,}95$ et $p(X\leqslant4)\geqslant0{,}95$.

Donc le plus petit entier $k$ tel que la probabilité de tirer au plus $k$ pièces défectueuses soit supérieure ou égale à $95\,\%$ est $k=4$.

Réponse : c. $k=4$.

Question 4. Réponse a.

L'évènement « ne tirer que des pièces défectueuses » est $\{X=n\}$.

On retrouve ce résultat par indépendance des $n$ tirages : chaque pièce est défectueuse avec la probabilité $0{,}04$.

Les propositions b et d font intervenir $0{,}96^n$, probabilité de n'obtenir aucune pièce défectueuse, et la proposition c est la probabilité contraire de $\{X=n\}$.

Donc la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses est $0{,}04^n$.

Réponse : a. $0{,}04^n$.

Question 5. Réponse a.

D'après le même raisonnement qu'à la question 1, $0{,}96^n$ est la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse, donc $1-0{,}96^n$ est la probabilité d'en tirer au moins une.

Dans la fonction seuil(x), la variable n vaut $1$ au départ. Tant que la condition 1-0.96**n <  x est vraie, n augmente de $1$.

La boucle s'arrête donc dès que $1-0{,}96^n\geqslant x$, et la fonction renvoie la première valeur de $n$ (en partant de $1$ et en augmentant de $1$ en $1$) pour laquelle cette inégalité est vérifiée.

C'est le plus petit entier $n$ tel que la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à $x$.

Les propositions b, c et d parlent de « aucune pièce défectueuse », de « que des pièces défectueuses » ou d'un « plus grand nombre » : elles ne correspondent pas à la condition testée.

Donc la fonction seuil renvoie le plus petit nombre $n$ tel que la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à $x$.

Réponse : a.

Points clés attendus

• Reconnaître et justifier la loi binomiale $\mathcal{B}(n\;;\;0{,}04)$ : épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise).

• « Au moins un » se traite par l'évènement contraire : $1-0{,}96^n$.

• Décomposer $p(3<X\leqslant7)$ avec des évènements du type $\{X\leqslant k\}$.

• Pour le seuil $k$, comparer les valeurs de $p(X\leqslant k)$ à $0{,}95$ et conclure sur le plus petit entier.

• Interpréter la boucle while : la sortie a lieu dès que la condition de la boucle devient fausse.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.