Bac 2023, Centres étrangers 2 : exercice 2

Partie A

Question 1.

La fonction $x\mapsto\ln(1+x)$ est définie si et seulement si $1+x>0$, c'est-à-dire $x>-1$.

La fonction $x\mapsto x$ est définie sur $\mathbb{R}$.

Donc la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]-1\;;\;+\infty[$.

Question 2.

La fonction $x\mapsto\ln(1+x)$ est de la forme $\ln(u)$ avec $u(x)=1+x$, et $u'(x)=1$. Sa dérivée est donc $\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{1}{1+x}$.

Donc, pour tout $x>-1$,

Réponse : $f'(x)=\dfrac{x}{1+x}$.

Question 3. a)

Pour tout $x>-1$, on a $1+x>0$.

Donc $f'(x)$ est du signe de $x$ :

• pour $x\in]-1\;;\;0[$, $f'(x)<0$

• $f'(0)=0$

• pour $x\in]0\;;\;+\infty[$, $f'(x)>0$.

Donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-1\;;\;0]$ et strictement croissante sur $[0\;;\;+\infty[$.

Réponse : $f$ est décroissante sur $]-1\;;\;0]$ et croissante sur $[0\;;\;+\infty[$.

b)

On a $f(0)=0-\ln(1)=0$.

D'après la question précédente, $f$ est strictement décroissante sur $]-1\;;\;0]$.

Donc, pour tout $x\in]-1\;;\;0[$, on a $x<0$ et donc $f(x)>f(0)=0$.

Donc la fonction $f$ est strictement positive sur $]-1\;;\;0[$.

Remarque : $f$ admet en $0$ un minimum égal à $0$, donc $f(x)\geqslant0$ sur tout l'intervalle $]-1\;;\;+\infty[$.

Question 4. a)

Pour tout $x>-1$, on a $\dfrac{\mathrm{e}^x}{1+x}>0$, donc le logarithme est bien défini.

On utilise $\ln\left(\dfrac ab\right)=\ln(a)-\ln(b)$ pour $a,b>0$ :

Donc, pour tout $x>-1$, $f(x)=\ln\left(\dfrac{\mathrm{e}^x}{1+x}\right)$.

b)

Pour $x>0$, on écrit

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$.

De plus, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\frac1x+1}=1$.

Par produit, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{1+x}=+\infty$.

Comme $\lim\limits_{X\to+\infty}\ln(X)=+\infty$, par limite d'une composée, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Donc la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Partie B

La suite $(u_n)$ vérifie $u_{n+1}=f(u_n)$, où $f$ est la fonction de la partie A.

Question 1.

On a $u_1=u_0-\ln(1+u_0)=10-\ln(11)$.

Donc $u_1=10-\ln(11)\approx7{,}602$ (arrondi au millième).

Réponse : $u_1=10-\ln(11)\approx7{,}602$.

Question 2.

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété : $u_n\geqslant0$.

Initialisation. On a $u_0=10\geqslant0$, donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_k\geqslant0$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $P(k+1)$ est vraie.

Comme $u_k\geqslant0$, on a $u_k\in]-1\;;\;+\infty[$, donc $f(u_k)$ est bien défini et $u_{k+1}=f(u_k)$.

D'après la question 3. a. de la partie A, la fonction $f$ est décroissante puis croissante sur $]-1\;;\;+\infty[$, avec un minimum en $0$ égal à $f(0)=0$.

Donc $f(u_k)\geqslant0$, c'est-à-dire $u_{k+1}\geqslant0$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $u_n\geqslant0$ pour tout entier naturel $n$.

Question 3.

Pour tout entier naturel $n$,

D'après la question précédente, $u_n\geqslant0$, donc $1+u_n\geqslant1$.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\;;\;+\infty[$ et $\ln(1)=0$, donc $\ln(1+u_n)\geqslant0$.

Donc $u_{n+1}-u_n\leqslant0$ pour tout entier naturel $n$.

Donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

Question 4.

D'après la question 3, la suite $(u_n)$ est décroissante.

D'après la question 2, elle est minorée par $0$.

D'après le théorème de la limite monotone (une suite décroissante et minorée converge), la suite $(u_n)$ converge.

Question 5.

Soit $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$.

Comme $u_n\geqslant0$ pour tout $n$, un passage à la limite dans une inégalité large donne $\ell\geqslant0$. Donc $\ell$ appartient à $[0\;;\;+\infty[$, intervalle inclus dans l'ensemble de définition de $f$.

La fonction $f$ est continue sur $]-1\;;\;+\infty[$ (elle est dérivable), donc en $\ell$.

La suite vérifie $u_{n+1}=f(u_n)$, avec $u_n\to\ell$ et $u_{n+1}\to\ell$. Par continuité de $f$ en $\ell$, on obtient $\ell=f(\ell)$.

Ainsi

Donc la suite $(u_n)$ converge vers $0$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$.

Points clés attendus

• Domaine de définition de $\ln(1+x)$ justifié par $1+x>0$, et signe de $f'$ justifié par $1+x>0$.

• Récurrence rédigée (initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence, conclusion), en utilisant le minimum de $f$ obtenu en partie A.

• Sens de variation de $(u_n)$ par le signe de $u_{n+1}-u_n=-\ln(1+u_n)$.

• Théorème de la limite monotone : suite décroissante et minorée.

• Limite obtenue par passage à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$, avec la continuité de $f$ citée.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.