Bac 2023, Asie : exercice 4

Données. L'urne contient $15$ billes numérotées de $1$ à $15$, indiscernables au toucher : le tirage est équiprobable, chaque bille a la probabilité $\dfrac1{15}$.

La bille rouge est la numéro $1$   les billes bleues sont les numéros $2$, $3$, $4$, $5$   les billes vertes sont les numéros $6$ à $15$, soit $10$ billes. Donc

Question 1. Réponse B.

On note $N$ l'évènement « la bille est numérotée d'un nombre pair ». On applique la formule $P(B\cup N)=P(B)+P(N)-P(B\cap N)$.

Les numéros pairs entre $1$ et $15$ sont $2{,}4,6{,}8,10{,}12{,}14$ : $P(N)=\dfrac7{15}$.

Les billes à la fois bleues et paires sont les numéros $2$ et $4$ : $P(B\cap N)=\dfrac2{15}$.

On retrouve ce résultat en dénombrant : les billes $2{,}3,4{,}5,6{,}8,10{,}12{,}14$ conviennent, soit $9$ billes.

La proposition A correspond à $\dfrac7{15}$, qui est seulement $P(N)$. La proposition C est impossible car $\dfrac{11}{10}>1$. La proposition D est donc fausse.

Donc la probabilité que la bille soit bleue ou numérotée d'un nombre pair est $\dfrac9{15}$.

Réponse : B. $\dfrac9{15}$.

Question 2. Réponse C.

On cherche la probabilité conditionnelle de « la bille porte le numéro $7$ » sachant $V$. Parmi les $10$ billes vertes, une seule porte le numéro $7$, et les billes sont équiprobables.

Donc, sachant que la bille tirée est verte, la probabilité qu'elle soit numérotée $7$ est $\dfrac1{10}$.

Réponse : C. $\dfrac1{10}$.

Question 3. Réponse B.

Le gain algébrique est $G=\text{somme remportée}-10$. Donc $G=5$ équivaut à une somme remportée de $15$ euros.

• Bille rouge : somme remportée $0$, donc $G=-10\neq5$.

• Bille bleue de numéro $m$ : somme remportée $3m$. On a $3m=15\iff m=5$, et la bille $5$ est bleue : elle convient.

• Bille verte de numéro $m$ : somme remportée $m$. On a $m=15$, et la bille $15$ est verte : elle convient.

Donc $\{G=5\}$ est formé des billes $5$ et $15$, et

Réponse : B. $\dfrac2{15}$.

Question 4. Réponse A.

Si la bille tirée est rouge, le joueur ne remporte rien, donc son gain algébrique est $0-10=-10$.

Sachant $R$, on a donc $G=-10$ avec certitude, et $G=0$ est impossible.

Donc $P_R(G=0)=0$.

Réponse : A. $0$.

Question 5. Réponse C.

L'évènement $\{G=-4\}$ correspond à une somme remportée de $-4+10=6$ euros.

• Bille rouge : somme remportée $0\neq6$.

• Bille bleue de numéro $m$ : $3m=6\iff m=2$, et la bille $2$ est bleue : elle convient.

• Bille verte de numéro $m$ : $m=6$, et la bille $6$ est verte : elle convient.

Donc $\{G=-4\}$ est formé des billes $2$ et $6$, et $P(G=-4)=\dfrac2{15}$.

Parmi elles, seule la bille $6$ est verte : $P\left((G=-4)\cap V\right)=\dfrac1{15}$.

Par définition de la probabilité conditionnelle,

Donc, sachant que le gain algébrique est $-4$ euros, la probabilité que la bille tirée soit verte est $\dfrac12$.

Réponse : C. $\dfrac12$.

Points clés attendus

• Équiprobabilité des billes : les probabilités se calculent par dénombrement.

• Formule $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, sans oublier l'intersection (les billes bleues paires).

• Traduire $G=g$ en somme remportée $g+10$, puis examiner chaque couleur.

• Probabilité conditionnelle : bien identifier l'évènement qui conditionne (au dénominateur).

• Le gain algébrique tient compte de la mise : une bille rouge donne $G=-10$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.