Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2023, Amérique du Sud : exercice 1

27 septembre 2023 · jour 2 · 5 points

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale

Partie A

Un jeu proposé dans une fête foraine consiste à effectuer trois tirs successivement sur une cible mouvante.

On a constaté que :

Si le joueur atteint la cible lors d'un tir alors il ne l'atteint pas lors du tir suivant dans 65 % des cas
Si le joueur n'atteint pas la cible lors d'un tir alors il l'atteint lors du tir suivant dans 50 % des cas.

La probabilité qu'un joueur atteigne la cible lors de son premier tir est de $0,6$ .

Pour tout évènement $A$ , on note $p(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$ .

On choisit au hasard un joueur à ce jeu de tirs.

On considère les évènements suivants:

$A_1$ : « Le joueur atteint la cible lors du 1^er tir »
$A_2$ : « Le joueur atteint la cible lors du 2^e tir »
$A_3$ : « Le joueur atteint la cible lors du 3^e tir ».

Recopier et compléter, avec les probabilités correspondantes sur chaque branche, l'arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.

Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur atteint sa cible au cours des trois tirs.
Montrer que la probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à 0,4015.
L'objectif de cette question est de calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ , notée $E(X)$ .
1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ .
  
  $X = x_i$ 0 1 2 3
  $p\left(X = x_i\right)$ 0,1 0,0735
2. Calculer $E(X)$ .
3. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'exercice.

Partie B

On considère $N$ , un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Un groupe de $N$ personnes se présente à ce stand pour jouer à ce jeu dans des conditions identiques et indépendantes.

Un joueur est déclaré gagnant lorsqu'il atteint trois fois la cible.

On note $Y$ la variable aléatoire qui compte parmi les $N$ personnes le nombre de joueurs déclarés gagnants.

Dans cette question, $N = 15$ .
1. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. Donner la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ , qu'exactement 5 joueurs soient gagnants à ce jeu.
Par la méthode de votre choix, que vous expliciterez, déterminer le nombre minimum de personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu'il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$ .

Voir le corrigé

Partie A

Question 1.

On traduit les données de l'énoncé en probabilités.

L'énoncé donne $p(A_1)=0{,}6$ , donc :

p(\overline{A_1})=1-0{,}6=0{,}4.

Si le joueur atteint la cible lors d'un tir, il ne l'atteint pas lors du tir suivant dans $65\,\%$ des cas. Pour $k\in\{1\,;2\}$ :

p_{A_k}(\overline{A_{k+1}})=0{,}65\qquad\text{donc}\qquad p_{A_k}(A_{k+1})=1-0{,}65=0{,}35.

Si le joueur n'atteint pas la cible lors d'un tir, il l'atteint lors du tir suivant dans $50\,\%$ des cas. Pour $k\in\{1\,;2\}$ :

p_{\overline{A_k}}(A_{k+1})=0{,}5\qquad\text{donc}\qquad p_{\overline{A_k}}(\overline{A_{k+1}})=1-0{,}5=0{,}5.

Ces valeurs sont les mêmes au passage du premier au deuxième tir et du deuxième au troisième tir, car elles ne dépendent que du résultat du tir précédent.

Les pondérations de l'arbre sont donc les suivantes :

$p(A_1)=0{,}6$ et $p(\overline{A_1})=0{,}4$
à chaque nœud $A_1$ ou $A_2$ : branche vers $A_2$ ou $A_3$ de poids $0{,}35$ , branche vers $\overline{A_2}$ ou $\overline{A_3}$ de poids $0{,}65$
à chaque nœud $\overline{A_1}$ ou $\overline{A_2}$ : branche vers $A_2$ ou $A_3$ de poids $0{,}5$ , branche vers $\overline{A_2}$ ou $\overline{A_3}$ de poids $0{,}5$ .

Donc l'arbre est complété avec ces huit pondérations de second et troisième niveaux.

Question 2.

L'évènement $\{X=2\}$ est réalisé par exactement trois issues, deux réussites et un échec, qui sont incompatibles deux à deux :

A_1\cap A_2\cap\overline{A_3},\qquad A_1\cap\overline{A_2}\cap A_3,\qquad \overline{A_1}\cap A_2\cap A_3.

Pour chaque issue, on multiplie les probabilités le long du chemin de l'arbre :

\begin{aligned} p\left(A_1\cap A_2\cap\overline{A_3}\right)&=0{,}6\times 0{,}35\times 0{,}65=0{,}1365,\\ p\left(A_1\cap\overline{A_2}\cap A_3\right)&=0{,}6\times 0{,}65\times 0{,}5=0{,}195,\\ p\left(\overline{A_1}\cap A_2\cap A_3\right)&=0{,}4\times 0{,}5\times 0{,}35=0{,}07. \end{aligned}

Les trois issues étant incompatibles, on additionne :

\begin{aligned} p(X=2)&=0{,}1365+0{,}195+0{,}07\\ &=0{,}4015. \end{aligned}

Donc la probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à $0{,}4015$ .

Question 3. a)

La seule issue pour $X=3$ est $A_1\cap A_2\cap A_3$ :

p(X=3)=0{,}6\times 0{,}35\times 0{,}35=0{,}0735.

La seule issue pour $X=0$ est $\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap\overline{A_3}$ :

p(X=0)=0{,}4\times 0{,}5\times 0{,}5=0{,}1.

Les évènements $\{X=0\}$ , $\{X=1\}$ , $\{X=2\}$ , $\{X=3\}$ forment une partition de l'univers, donc la somme de leurs probabilités vaut $1$ :

\begin{aligned} p(X=1)&=1-0{,}1-0{,}4015-0{,}0735\\ &=0{,}425. \end{aligned}

Vérification par les chemins comportant une seule réussite :

p(X=1)=0{,}6\times 0{,}65\times 0{,}5+0{,}4\times 0{,}5\times 0{,}65+0{,}4\times 0{,}5\times 0{,}5=0{,}195+0{,}13+0{,}1=0{,}425.

Donc la loi de probabilité de $X$ est :

$p(X=0)=0{,}1$
$p(X=1)=0{,}425$
$p(X=2)=0{,}4015$
$p(X=3)=0{,}0735$ .

Réponse : $p(X=1)=0{,}425$ et $p(X=2)=0{,}4015$ .

Question 3. b)

Par définition de l'espérance :

\begin{aligned} E(X)&=0\times p(X=0)+1\times p(X=1)+2\times p(X=2)+3\times p(X=3)\\ &=0\times 0{,}1+1\times 0{,}425+2\times 0{,}4015+3\times 0{,}0735\\ &=0+0{,}425+0{,}803+0{,}2205\\ &=1{,}4485. \end{aligned}

Donc l'espérance de $X$ est $E(X)=1{,}4485$ .

Réponse : $E(X)=1{,}4485$ .

Question 3. c)

L'espérance est la valeur moyenne de $X$ lorsque l'expérience est répétée un grand nombre de fois.

Donc, en jouant un grand nombre de parties de trois tirs, un joueur atteint la cible en moyenne environ $1{,}45$ fois par partie.

Partie B

Question 1. a)

Un joueur est déclaré gagnant lorsqu'il atteint trois fois la cible, ce qui se produit avec la probabilité :

p(X=3)=0{,}0735.

Pour chaque joueur, on considère l'épreuve de Bernoulli dont le succès est « le joueur est déclaré gagnant », de probabilité $0{,}0735$ .

Les $15$ joueurs jouent dans des conditions identiques et indépendantes. On a donc la répétition de $15$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de même probabilité de succès $0{,}0735$ .

La variable aléatoire $Y$ compte le nombre de succès. Donc $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0{,}0735$ :

Y\sim\mathcal{B}(15\,;0{,}0735).

Question 1. b)

D'après la formule de la loi binomiale, pour $k=5$ :

\begin{aligned} p(Y=5)&=\binom{15}{5}\times 0{,}0735^{5}\times(1-0{,}0735)^{10}\\ &=3003\times 0{,}0735^{5}\times 0{,}9265^{10}\\ &\approx 0{,}0030. \end{aligned}

Donc la probabilité qu'exactement $5$ joueurs soient gagnants est, arrondie au millième, égale à $0{,}003$ .

Réponse : $p(Y=5)\approx 0{,}003$ .

Question 2.

Avec $N$ joueurs, $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(N\,;0{,}0735)$ , d'après la même justification qu'à la question 1. a).

L'évènement « il y a au moins un joueur gagnant » est le contraire de $\{Y=0\}$ :

p(Y\geqslant 1)=1-p(Y=0)=1-0{,}9265^{N}.

On cherche le plus petit entier $N$ tel que :

1-0{,}9265^{N}\geqslant 0{,}98.

On résout cette inéquation :

\begin{aligned} 1-0{,}9265^{N}\geqslant 0{,}98&\iff 0{,}9265^{N}\leqslant 0{,}02\\ &\iff N\ln(0{,}9265)\leqslant\ln(0{,}02)\qquad\text{(la fonction }\ln\text{ est strictement croissante sur }]0\,;+\infty[\text{)}\\ &\iff N\geqslant\dfrac{\ln(0{,}02)}{\ln(0{,}9265)}. \end{aligned}

Le sens de l'inégalité est renversé à la dernière équivalence, car $0{,}9265<1$ donc $\ln(0{,}9265)<0$ .

À la calculatrice :

\dfrac{\ln(0{,}02)}{\ln(0{,}9265)}\approx 51{,}24.

Le plus petit entier $N$ vérifiant $N\geqslant 51{,}24$ est donc $52$ .

Vérification : $1-0{,}9265^{51}\approx 0{,}9796<0{,}98$ et $1-0{,}9265^{52}\approx 0{,}9811\geqslant 0{,}98$ .

Donc il faut qu'au moins $52$ personnes se présentent au stand pour que la probabilité d'avoir au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0{,}98$ .

Réponse : $N=52$ .

Points clés attendus

Traduire les données en probabilités conditionnelles et compléter l'arbre avec les probabilités des évènements contraires.
Pour $p(X=2)$ , énumérer les trois chemins, multiplier le long de chaque chemin, puis additionner (issues incompatibles).
Pour la loi binomiale, justifier : épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec la probabilité de succès $0{,}0735$ .
Pour « au moins un », passer par l'évènement contraire, puis résoudre avec le logarithme en renversant l'inégalité ( $\ln(0{,}9265)<0$ ).
Interpréter l'espérance en contexte (valeur moyenne sur un grand nombre de parties).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2023 (Amérique du Sud, 27 septembre 2023 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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$X = x_i$	0	1	2	3
$p\left(X = x_i\right)$	0,1			0,0735