Bac 2023, Amérique du Sud : exercice 2

Question 1.

On calcule les coordonnées de deux vecteurs d'origine A :

Supposons que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ pour un réel $k$.

La première coordonnée donne $-1=k\times 1$, donc $k=-1$.

La deuxième coordonnée donnerait alors $-2=-1\times(-2)=2$, ce qui est faux.

Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

Donc les points A, B et C ne sont pas alignés : ils définissent un plan.

Question 2. a)

On calcule les produits scalaires de $\vec n\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ avec $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. Le repère est orthonormé, donc le produit scalaire se calcule avec les coordonnées :

Le vecteur $\vec n$ est non nul et orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), d'après la question 1.

Donc $\vec n$ est un vecteur normal au plan (ABC).

Question 2. b)

Le vecteur $\vec n\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ étant normal au plan (ABC), ce plan admet une équation cartésienne de la forme :

Le point A$(1\,;1\,;-4)$ appartient au plan, donc :

Une équation cartésienne de (ABC) est donc $x+y+z+2=0$.

Vérification avec les deux autres points :

• B : $2+(-1)+(-3)+2=0$

• C : $0+(-1)+(-1)+2=0$.

Donc une équation cartésienne du plan (ABC) est $x+y+z+2=0$.

Question 3. a)

On remplace les coordonnées de $\Omega(1\,;1\,;2)$ dans le membre de gauche de l'équation du plan :

Donc $\Omega$ n'appartient pas au plan (ABC).

Question 3. b)

Le point H est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur (ABC) : c'est le point d'intersection de (ABC) et de la droite passant par $\Omega$ et orthogonale à (ABC).

Cette droite a pour vecteur directeur le vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ et passe par $\Omega(1\,;1\,;2)$. Une représentation paramétrique est :

Le point H vérifie aussi l'équation du plan, donc :

On remplace $t=-2$ dans la représentation paramétrique :

Vérification : $-1-1+0+2=0$, donc H appartient bien au plan (ABC).

Donc H a pour coordonnées $(-1\,;-1\,;0)$.

Réponse : H$(-1\,;-1\,;0)$.

Question 4.

Soit N un point du plan (ABC) distinct de H.

Le point H est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur (ABC), donc la droite $(\Omega\text{H})$ est orthogonale au plan (ABC). Elle est donc orthogonale à la droite (HN), contenue dans ce plan.

Le triangle $\Omega$HN est donc rectangle en H. D'après le théorème de Pythagore :

Comme N est distinct de H, on a $\text{HN}^2>0$, donc $\Omega\text{N}^2>\Omega\text{H}^2=\left(2\sqrt3\right)^2$, c'est-à-dire $\Omega\text{N}>2\sqrt3$.

Donc N n'appartient pas à la sphère $S$, dont les points sont à la distance $2\sqrt3$ de $\Omega$.

Question 5.

Il faut vérifier les deux conditions de la définition.

Première condition : K $\in\mathcal{P}\cap S$.

Pour K$(3\,;3\,;0)$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x+y-z-6=0$ :

donc K$\in\mathcal{P}$.

On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{\Omega\text{K}}$ :

Le repère étant orthonormé :

Donc K$\in S$, et finalement K$\in\mathcal{P}\cap S$.

Deuxième condition : $(\Omega\text{K})\perp\mathcal{P}$.

Le plan $\mathcal{P}$ a pour vecteur normal $\vec m\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$ (lu sur son équation cartésienne).

On a $\overrightarrow{\Omega\text{K}}=2\vec m$ : les vecteurs $\overrightarrow{\Omega\text{K}}$ et $\vec m$ sont colinéaires. La droite $(\Omega\text{K})$ est donc dirigée par un vecteur normal à $\mathcal{P}$ : elle est orthogonale à $\mathcal{P}$.

Les deux conditions sont vérifiées.

Donc le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point K.

Question 6.

Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à la droite $(\Delta)$ si et seulement s'il appartient aux deux plans, c'est-à-dire si et seulement si :

En ajoutant membre à membre les deux équations :

En soustrayant la seconde équation à la première :

Le système est donc équivalent à $x+y=2$ et $z=-4$.

On pose $x=t$, avec $t\in\mathbb{R}$. On obtient $y=2-t$ et $z=-4$.

Une représentation paramétrique de $(\Delta)$ est donc :

Vérification : le point de paramètre $t=0$ est $(0\,;2\,;-4)$ et on a $0+2-4+2=0$ et $0+2+4-6=0$. Le vecteur directeur $(1\,;-1\,;0)$ est orthogonal aux deux vecteurs normaux $(1\,;1\,;1)$ et $(1\,;1\,;-1)$.

Donc la droite $(\Delta)$ est la droite passant par $(0\,;2\,;-4)$ et dirigée par $(1\,;-1\,;0)$.

Réponse : $(\Delta)$ : $x=t$, $y=2-t$, $z=-4$, $t\in\mathbb{R}$.

Points clés attendus

• Prouver la non-colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ pour justifier que A, B, C définissent un plan.

• Un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d'un plan est normal à ce plan   déterminer $d$ avec un point, puis vérifier avec les deux autres.

• Projeté orthogonal : intersection de la perpendiculaire passant par $\Omega$ avec le plan, par résolution en $t$.

• Question 4 : triangle rectangle en H et théorème de Pythagore.

• Tangence : vérifier les deux conditions de la définition (K dans $\mathcal{P}$ et dans $S$, $\overrightarrow{\Omega\text{K}}$ colinéaire à un vecteur normal).

• Droite d'intersection : résoudre le système de deux équations de plans et paramétrer.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.