Bac 2023, Amérique du Sud : exercice 2

Question 1. a)

La proportion d'accouchements donnant naissance à des jumeaux est le quotient du nombre d'accouchements de jumeaux par le nombre total d'accouchements :

Avec une précision de $0{,}1\,\%$, cela fait $1{,}6\,\%$.

Donc, sur la période 1998-2020, environ $1{,}6\,\%$ des accouchements ont donné naissance à des jumeaux.

Réponse : $1{,}6\,\%$.

Question 1. b)

De même, la proportion d'accouchements donnant naissance à au moins trois enfants est

soit environ $0{,}027\,\%$.

Comme $0{,}027<0{,}1$, ce pourcentage est bien inférieur à $0{,}1\,\%$.

Question 2. a)

On répète $20$ accouchements. Chacun est une épreuve de Bernoulli : le succès « l'accouchement est double » a pour probabilité $0{,}016$. Les $20$ accouchements sont identiques et indépendants (énoncé).

Donc $X$, nombre de succès, suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0{,}016$ : $X\sim\mathcal{B}(20\,;0{,}016)$.

La probabilité d'avoir exactement un accouchement double est

Donc la probabilité qu'on réalise exactement un accouchement double est environ $0{,}236$ (arrondie au millième).

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(20\,;0{,}016)$ et $p(X=1)\approx 0{,}236$.

Question 2. b)

Ici $X\sim\mathcal{B}(n\,;0{,}016)$.

L'évènement « $X\geqslant 1$ » a pour contraire « $X=0$ », donc

On résout l'inéquation :

On a $\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}984)}\approx 285{,}5$.

Le plus petit entier $n$ convenable est donc $286$.

Vérification à la calculatrice :

• $1-0{,}984^{285}\approx 0{,}98992<0{,}99$

• $1-0{,}984^{286}\approx 0{,}99008\geqslant 0{,}99$.

Interprétation : il faut qu'il y ait au moins $286$ accouchements un jour donné pour que la probabilité d'avoir au moins un accouchement double ce jour-là soit supérieure ou égale à $0{,}99$.

Réponse : $n=286$.

Question 3. a)

On traduit les données de l'énoncé :

• $p(M)=0{,}3$ et $p(\overline M)=0{,}7$

• $p(F_1)=0{,}49$ et $p(\overline{F_1})=0{,}51$ pour le premier nouveau-né, que les jumeaux soient monozygotes ou non.

Branche $M$ (jumeaux monozygotes, de même sexe) :

• $p_M(F_1)=0{,}49$ et $p_M(\overline{F_1})=0{,}51$

• $p_{M\cap F_1}(F_2)=1$ et $p_{M\cap F_1}(\overline{F_2})=0$

• $p_{M\cap\overline{F_1}}(F_2)=0$ et $p_{M\cap\overline{F_1}}(\overline{F_2})=1$.

Branche $\overline M$ (jumeaux dizygotes, sexes indépendants) :

• $p_{\overline M}(F_1)=0{,}49$ et $p_{\overline M}(\overline{F_1})=0{,}51$

• $p_{\overline M\cap F_1}(F_2)=p_{\overline M\cap\overline{F_1}}(F_2)=0{,}49$

• $p_{\overline M\cap F_1}(\overline{F_2})=p_{\overline M\cap\overline{F_1}}(\overline{F_2})=0{,}51$.

L'arbre se recopie avec ces pondérations sur les branches.

Question 3. b)

Les évènements $M$ et $\overline M$ forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales :

On lit les produits des probabilités le long des branches de l'arbre :

Donc

Donc la probabilité que les deux nouveau-nés soient des filles est bien $0{,}31507$.

Question 3. c)

On cherche la probabilité de $M$ sachant $F_1\cap F_2$. Par définition de la probabilité conditionnelle :

Donc, sachant que les deux nouveau-nés sont des filles, la probabilité qu'elles soient des jumelles monozygotes est environ $0{,}467$ (arrondie au millième).

Réponse : $\dfrac{0{,}147}{0{,}31507}\approx 0{,}467$.

Points clés attendus

• Loi binomiale : paramètres $n$ et $p$ justifiés par la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

• Passage par l'évènement contraire pour $p(X\geqslant 1)$, puis résolution avec $\ln$ en changeant le sens de l'inégalité ($\ln(0{,}984)<0$).

• Arbre pondéré : jumeaux monozygotes de même sexe (probabilités $1$ et $0$), dizygotes indépendants.

• Formule des probabilités totales avec la partition $\left\{M,\overline M\right\}$ citée explicitement.

• Probabilité conditionnelle : bien écrire numérateur et dénominateur, arrondir au millième.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.