Bac 2023, Amérique du Sud : exercice 4

Partie A

Question 1.

Pour tout réel $x$, $f(x)=2x(1-x)=2x-2x^2$.

La fonction $f$ est un polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$, et

Pour $x\in\left[0\,;\dfrac12\right[$, on a $4x<2$, donc $f'(x)>0$.

La dérivée ne s'annule qu'en $x=\dfrac12$, extrémité de l'intervalle.

Donc $f'$ est strictement positive sur $\left[0\,;\dfrac12\right[$ et nulle seulement en $\dfrac12$ : $f$ est strictement croissante sur $\left[0\,;\dfrac12\right]$.

Question 2.

On calcule $u_1$ :

On pose, pour tout entier naturel $n$, la propriété $P(n)$ : « $u_n\leqslant u_{n+1}$ ».

Initialisation. On a $u_0=0{,}3$ et $u_1=0{,}42$, donc $u_0\leqslant u_1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_k\leqslant u_{k+1}$ (hypothèse de récurrence).

Montrons $P(k+1)$, c'est-à-dire $u_{k+1}\leqslant u_{k+2}$.

D'après le résultat admis, $0\leqslant u_k\leqslant\dfrac12$ et $0\leqslant u_{k+1}\leqslant\dfrac12$ : les deux nombres $u_k$ et $u_{k+1}$ appartiennent à $\left[0\,;\dfrac12\right]$.

La fonction $f$ est croissante sur $\left[0\,;\dfrac12\right]$ (question 1).

On applique $f$ à l'inégalité $u_k\leqslant u_{k+1}$ en conservant le sens :

Or $f\left(u_k\right)=u_{k+1}$ et $f\left(u_{k+1}\right)=u_{k+2}$, donc $u_{k+1}\leqslant u_{k+2}$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$.

Réponse : $u_1=0{,}42$.

Question 3.

D'après la question 2, la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

D'après l'énoncé, pour tout $n$, $u_n\leqslant\dfrac12$ : elle est majorée par $\dfrac12$.

D'après le théorème de la limite monotone (une suite croissante et majorée converge), la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

Question 4.

Notons $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ (elle existe d'après la question 3).

La suite est croissante, donc pour tout $n$, $u_n\geqslant u_0=0{,}3$. Par passage à la limite dans les inégalités, $\ell\geqslant 0{,}3$.

La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (polynôme) et $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$. Quand $n$ tend vers $+\infty$, $u_n$ et $u_{n+1}$ tendent vers $\ell$ et $f\left(u_n\right)$ tend vers $f(\ell)$.

Par unicité de la limite, $\ell=f(\ell)$.

On résout :

Or $\ell\geqslant 0{,}3$, donc $\ell\neq 0$.

Donc la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $\dfrac12$.

Réponse : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac12$.

Partie B

Question 1. a)

Pour $b=0$, la relation devient $P_{n+1}-P_n=P_n\left(1-0\times P_n\right)=P_n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=2P_n$.

La suite $\left(P_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$, de premier terme $P_0=3$.

Question 1. b)

Pour tout entier naturel $n$, $P_n=3\times 2^n$.

Comme $2>1$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}2^n=+\infty$.

Donc, par produit par $3>0$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P_n=+\infty$.

Réponse : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P_n=+\infty$.

Question 2. a)

On a $v_0=0{,}1\times P_0=0{,}1\times 3=0{,}3$.

Pour $b=0{,}2$ et tout entier naturel $n$ :

De $v_n=0{,}1P_n$, on tire $P_n=10v_n$.

Donc

Donc $v_0=0{,}3$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=2v_n\left(1-v_n\right)$.

Réponse : $v_0=0{,}3$.

Question 2. b)

La suite $\left(v_n\right)$ a le même premier terme $0{,}3$ et vérifie la même relation de récurrence $v_{n+1}=f\left(v_n\right)$ que la suite $\left(u_n\right)$ de la partie A.

Par récurrence immédiate, $v_n=u_n$ pour tout entier naturel $n$.

D'après la partie A, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=\dfrac12$.

Comme $P_n=10v_n$, on obtient $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P_n=10\times\dfrac12=5$.

Donc, dans ce modèle, l'effectif de la population se stabilise autour de $5$ milliers, soit $5\,000$ individus.

Réponse : $5\,000$ individus.

Points clés attendus

• Croissance de $f$ établie par le signe de $f'$ sur $\left[0\,;\frac12\right]$.

• Récurrence rédigée complètement : initialisation, hérédité avec $u_k,u_{k+1}\in\left[0\,;\frac12\right]$ et croissance de $f$, conclusion.

• Théorème de la limite monotone : suite croissante et majorée.

• Limite : continuité de $f$, équation $\ell=f(\ell)$, élimination de $\ell=0$ grâce à $\ell\geqslant 0{,}3$.

• Partie B : reconnaître la suite de la partie A pour conclure, avec le changement d'échelle $P_n=10v_n$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.