Bac 2023, Amérique du Sud : exercice 1

Partie A

Question 1.

Limite en $0$.

On a $f(x) = 1 + x^2 - 2x^2\ln(x)$ pour $x>0$.

On a $\displaystyle\lim_{x\to 0} x^2 = 0$.

Par croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\to 0} x^2\ln(x) = 0$.

Par somme et produit par une constante, on obtient

Limite en $+\infty$.

Pour tout $x>0$, on a $f(x) = 1 + x^2\left(1 - 2\ln(x)\right)$.

On a $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^2 = +\infty$.

On a $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x) = +\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1 - 2\ln(x)\right) = -\infty$.

Par produit, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^2\left(1 - 2\ln(x)\right) = -\infty$.

Par somme avec la constante $1$,

Donc $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = 1$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$.

Réponse : $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = 1$   $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$.

Question 2.

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ (admis dans l'énoncé).

On dérive $x^2\ln(x)$ avec la formule $(uv)' = u'v + uv'$, où $u(x) = x^2$ et $v(x) = \ln(x)$, donc $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = \dfrac1x$ :

Donc, pour tout $x>0$ :

Donc, pour tout $x\in\,]0\,;+\infty[$, $f'(x) = -4x\ln(x)$.

Question 3.

Pour tout $x>0$, on a $-4x<0$.

Donc $f'(x)$ est du signe contraire de $\ln(x)$.

Or $\ln(x) < 0$ si et seulement si $0<x<1$, $\ln(1)=0$, et $\ln(x)>0$ si et seulement si $x>1$ (la fonction $\ln$ est strictement croissante et s'annule en $1$).

Donc :

• $f'(x)>0$ sur $]0\,;1[$

• $f'(1)=0$

• $f'(x)<0$ sur $]1\,;+\infty[$.

On a $f(1) = 1 + 1 - 2\ln(1) = 2$.

Variations de $f$ :

• $f$ est strictement croissante sur $]0\,;1]$ : elle passe de la limite $1$ en $0$ à la valeur $f(1)=2$

• $f$ est strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$ : elle passe de $f(1)=2$ à la limite $-\infty$ en $+\infty$.

Donc $f$ admet un maximum égal à $2$, atteint en $x=1$.

Question 4.

Sur l'intervalle $[1\,;+\infty[$ :

• $f$ est dérivable, donc continue

• $f$ est strictement décroissante (question 3)

• $f(1)=2>0$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty<0$, donc $0$ est une valeur comprise entre $f(1)$ et la limite en $+\infty$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour une fonction continue et strictement monotone), l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1\,;+\infty[$.

Localisation de $\alpha$ : on a

Comme $\mathrm{e}^2>1$, on a $f(\mathrm{e})<0$.

Donc $f(\mathrm{e}) < 0 = f(\alpha) < f(1)$.

La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$ : elle change l'ordre des nombres, donc $1 < \alpha < \mathrm{e}$.

Donc l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1\,;+\infty[$, et $\alpha\in[1\,;\mathrm{e}]$.

Question 5. Réponse B : (1.85, 1.9031250000000002).

Au départ, $a=1$ et $b=2{,}7$.

Élimination de C et D. À chaque passage, $a$ ou $b$ est remplacé par le milieu de $[a\,;b]$, qui reste dans $[1\,;2{,}7]$. Les valeurs de $a$ et de $b$ restent donc dans $[1\,;2{,}7]$. Les propositions C et D contiennent $2{,}75$ et $2{,}85$, qui sont supérieurs à $2{,}7$ : elles sont impossibles.

Élimination de A. Au premier passage, le milieu est $\dfrac{1+2{,}7}{2}=1{,}85$. Les valeurs possibles de $a$ après ce passage sont $1$ ou $1{,}85$ et celles de $b$ sont $2{,}7$ ou $1{,}85$. La valeur $a=1{,}75$ n'apparaît jamais, car les milieux calculés ensuite sont tous supérieurs ou égaux à $1{,}85$. La proposition A est impossible.

Vérification de B. On a $f(1)>0$ et $f(1{,}85)\approx 0{,}212>0$.

• Passage 1 : milieu $1{,}85$, $f(1)f(1{,}85)>0$, donc $a=1{,}85$   $b-a=0{,}85$.

• Passage 2 : milieu $2{,}275$, $f(2{,}275)<0$, donc $b=2{,}275$   $b-a=0{,}425$.

• Passage 3 : milieu $2{,}0625$, $f(2{,}0625)<0$, donc $b=2{,}0625$   $b-a=0{,}2125$.

• Passage 4 : milieu $1{,}95625$, $f(1{,}95625)<0$, donc $b=1{,}95625$   $b-a=0{,}10625$.

• Passage 5 : milieu $1{,}903125$, $f(1{,}903125)<0$, donc $b=1{,}903125$   $b-a=0{,}053125$.

Comme $0{,}053125\leqslant 10^{-1}$, la boucle s'arrête et la fonction renvoie $(1{,}85\,;1{,}903125)$, ce qui correspond (à l'écriture flottante près) à la proposition B.

Réponse : proposition B.

Partie B

Question 1.

La fonction $g$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ (admis dans l'énoncé).

On écrit $g=\dfrac uv$ avec $u(x)=\ln(x)$ et $v(x)=1+x^2$, donc $u'(x)=\dfrac1x$ et $v'(x)=2x$. La fonction $v$ ne s'annule pas.

On utilise la formule $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ :

On réduit le numérateur au même dénominateur $x$ :

Donc

Donc, pour tout $x>0$, $g'(x)=\dfrac{f(x)}{x\left(1+x^2\right)^2}$.

Question 2.

Pour tout $x>0$, on a $x\left(1+x^2\right)^2>0$.

Donc $g'(x)$ a le même signe que $f(x)$.

Signe de $f$ :

• sur $]0\,;1]$, $f$ est strictement croissante de limite $1$ à $f(1)=2$, donc $f>1>0$   on retrouve aussi l'admis de l'énoncé selon lequel $f$ ne s'annule pas sur $]0\,;1]$

• sur $[1\,;\alpha[$, $f$ est strictement décroissante et $f(\alpha)=0$, donc $f(x)>0$

• sur $]\alpha\,;+\infty[$, $f$ est strictement décroissante et $f(\alpha)=0$, donc $f(x)<0$.

Donc :

• $g'(x)>0$ sur $]0\,;\alpha[$ : $g$ est strictement croissante sur $]0\,;\alpha]$

• $g'(\alpha)=0$

• $g'(x)<0$ sur $]\alpha\,;+\infty[$ : $g$ est strictement décroissante sur $[\alpha\,;+\infty[$.

Donc la fonction $g$ admet un maximum en $x=\alpha$.

Question 3.

Tangente $T_1$. L'équation de la tangente en $1$ est $y=g'(1)(x-1)+g(1)$.

On a $g(1)=\dfrac{\ln(1)}{1+1}=0$.

On a $g'(1)=\dfrac{f(1)}{1\times\left(1+1\right)^2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac12$.

Donc $T_1 : y=\dfrac12(x-1)$.

Tangente $T_\alpha$. L'équation est $y=g'(\alpha)(x-\alpha)+g(\alpha)$.

On a $g'(\alpha)=\dfrac{f(\alpha)}{\alpha\left(1+\alpha^2\right)^2}=0$ car $f(\alpha)=0$.

On admet que $g(\alpha)=\dfrac1{2\alpha^2}$.

Donc $T_\alpha : y=\dfrac{1}{2\alpha^2}$ (tangente horizontale).

Intersection. Un point $(x\,;y)$ appartient aux deux droites si et seulement si $y=\dfrac1{2\alpha^2}$ et $\dfrac12(x-1)=\dfrac1{2\alpha^2}$.

On a

Donc les droites $T_1$ et $T_\alpha$ se coupent au point de coordonnées

Réponse : $\left(1+\dfrac1{\alpha^2}\,;\,\dfrac1{2\alpha^2}\right)$.

Points clés attendus

• Limite en $0$ par croissances comparées, limite en $+\infty$ par la forme factorisée donnée.

• Dérivation de $x^2\ln(x)$ avec la formule du produit, puis signe de $f'$ justifié par le signe de $\ln$.

• Théorème des valeurs intermédiaires : continuité, stricte monotonie et signes aux bornes vérifiés, pour obtenir l'existence et l'unicité de $\alpha$.

• Question Python : procéder par élimination, puis dérouler les passages de la boucle.

• Partie B : $g'$ du signe de $f$ car le dénominateur est strictement positif   tangentes écrites avec $g(a)$ et $g'(a)$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.