Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2022, Nouvelle-Calédonie : exercice 3

27 octobre 2022 · 7 points

Principaux domaines abordés : géométrie dans l'espace

Une maison est modélisée par un parallélépipède rectangle ABCDEFGH surmonté d'une pyramide EFGHS.

On a DC $= 6$ ,   DA = DH $= 4$ .

Soit les points I, J et K tels que

$\overrightarrow{\text{DI}} = \dfrac16\overrightarrow{\text{DC}}, \quad \overrightarrow{\text{DJ}} = \dfrac14\overrightarrow{\text{DA}},\quad \overrightarrow{\text{DK}} = \dfrac14\overrightarrow{\text{DH}}$ .

On note $\overrightarrow{\imath} = \overrightarrow{\text{DI}},\,\overrightarrow{\jmath} = \overrightarrow{\text{DJ}},\, \overrightarrow{k} = \overrightarrow{\text{DK}}$ .

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{D}\;;\;\overrightarrow{\imath},\,\overrightarrow{\jmath}, \, \overrightarrow{k}\right)$ .

On admet que le point S a pour coordonnées (3   2   6).

Figure de l'énoncé, exercice 3, Nouvelle-Calédonie 27 octobre 2022

Donner, sans justifier, les coordonnées des points B, E, F et G.
Démontrer que le volume de la pyramide EFGHS représente le septième du volume total de la maison.

On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :

$V = \dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.$
1. Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan (EFS).
2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (EFS) est $y + z - 8 = 0$ .
On installe une antenne sur le toit, représentée par le segment [PQ]. On dispose des données suivantes:
- le point P appartient au plan (EFS)
- le point Q a pour coordonnées (2   3   5,5)
- la droite (PQ) est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{k}$ .
1. Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite (PQ) est :
  
  $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&2\\ y &=&3\\ z &=& 5,5 + t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R})$
2. En déduire les coordonnées du point P.
3. En déduire la longueur PQ de l'antenne.
Un oiseau vole en suivant une trajectoire modélisée par la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est :

$\left\{\begin{array}{l c r} x & =& -4 +6s\\ y &=& 7 - 4s\\z &=& 2 + 4s \end{array}\right.\quad (s \in \mathbb{R})$

Déterminer la position relative des droites (PQ) et $\Delta$ .

L'oiseau va-t-il percuter l'antenne représentée par le segment [PQ] ?

Voir le corrigé

Le repère $\left(\mathrm{D}\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k\right)$ est orthonormé, avec $\mathrm{DC}=6$ , $\mathrm{DA}=4$ , $\mathrm{DH}=4$ et :

\vec\imath=\dfrac16\overrightarrow{\mathrm{DC}},\qquad \vec\jmath=\dfrac14\overrightarrow{\mathrm{DA}},\qquad \vec k=\dfrac14\overrightarrow{\mathrm{DH}}.

On en déduit $\overrightarrow{\mathrm{DC}}=6\vec\imath$ , $\overrightarrow{\mathrm{DA}}=4\vec\jmath$ et $\overrightarrow{\mathrm{DH}}=4\vec k$ , donc :

\mathrm{D}(0\,;0\,;0),\qquad \mathrm{C}(6\,;0\,;0),\qquad \mathrm{A}(0\,;4\,;0),\qquad \mathrm{H}(0\,;0\,;4).

Question 1.

Le point $\mathrm{B}$ est tel que $\mathrm{ABCD}$ est un rectangle, donc $\overrightarrow{\mathrm{DB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}$ : $\mathrm{B}(6\,;4\,;0)$ .

Les points $\mathrm{E}$ , $\mathrm{F}$ , $\mathrm{G}$ se déduisent de $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{DH}}$ , de coordonnées $(0\,;0\,;4)$ .

Donc :

\mathrm{B}(6\,;4\,;0),\qquad \mathrm{E}(0\,;4\,;4),\qquad \mathrm{F}(6\,;4\,;4),\qquad \mathrm{G}(6\,;0\,;4).

Réponse : $\mathrm{B}(6\,;4\,;0)$ , $\mathrm{E}(0\,;4\,;4)$ , $\mathrm{F}(6\,;4\,;4)$ , $\mathrm{G}(6\,;0\,;4)$ .

Question 2.

Volume de la pyramide. Sa base $\mathrm{EFGH}$ est un rectangle de côtés :

\mathrm{EF}=6,\qquad \mathrm{FG}=4,

donc d'aire

6\times4=24

Le plan $(\mathrm{EFG})$ est le plan d'équation $z=4$ (les points $\mathrm{E}$ , $\mathrm{F}$ , $\mathrm{G}$ , $\mathrm{H}$ ont tous pour cote $4$ ).

Le point $\mathrm{S}(3\,;2\,;6)$ a pour cote $6$ . Le repère étant orthonormé, la distance de $\mathrm{S}$ à ce plan, c'est-à-dire la hauteur de la pyramide, est :

h=6-4=2.

D'après la formule $V=\dfrac13\times(\text{aire de la base})\times\text{hauteur}$ :

V_{\mathrm{pyramide}}=\dfrac13\times24\times2=16.

Volume du parallélépipède. Il a pour dimensions $\mathrm{DC}=6$ , $\mathrm{DA}=4$ , $\mathrm{DH}=4$ :

V_{\mathrm{parall.}}=6\times4\times4=96.

Volume total.

V_{\mathrm{maison}}=96+16=112.

Or $112=7\times16$ , donc :

\dfrac{V_{\mathrm{pyramide}}}{V_{\mathrm{maison}}}=\dfrac{16}{112}=\dfrac17.

Donc le volume de la pyramide $\mathrm{EFGHS}$ est bien le septième du volume total de la maison.

Question 3. a)

On calcule les coordonnées de deux vecteurs du plan $(\mathrm{EFS})$ :

\overrightarrow{\mathrm{EF}}\begin{pmatrix}6-0\\4-4\\4-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{\mathrm{ES}}\begin{pmatrix}3-0\\2-4\\6-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}.

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : la deuxième coordonnée de $\overrightarrow{\mathrm{EF}}$ est nulle alors que celle de $\overrightarrow{\mathrm{ES}}$ ne l'est pas, donc il n'existe pas de réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{ES}}=\lambda\overrightarrow{\mathrm{EF}}$ .

Les points $\mathrm{E}$ , $\mathrm{F}$ , $\mathrm{S}$ ne sont donc pas alignés et définissent bien un plan, dirigé par $\overrightarrow{\mathrm{EF}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{ES}}$ .

On calcule les produits scalaires avec $\vec n\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ :

\vec n\cdot\overrightarrow{\mathrm{EF}}=0\times6+1\times0+1\times0=0,

\vec n\cdot\overrightarrow{\mathrm{ES}}=0\times3+1\times(-2)+1\times2=0.

Le vecteur $\vec n$ est non nul et orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(\mathrm{EFS})$ .

Donc $\vec n$ est un vecteur normal au plan $(\mathrm{EFS})$ .

Question 3. b)

Le vecteur $\vec n\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ étant normal au plan $(\mathrm{EFS})$ , ce plan admet une équation cartésienne de la forme :

0\times x+1\times y+1\times z+d=0,\qquad\text{soit}\qquad y+z+d=0.

Le point $\mathrm{E}(0\,;4\,;4)$ appartient au plan, donc :

4+4+d=0,\qquad d=-8.

Vérification avec les autres points : pour $\mathrm{F}(6\,;4\,;4)$ , $4+4-8=0$   pour $\mathrm{S}(3\,;2\,;6)$ , $2+6-8=0$ .

Donc une équation cartésienne du plan $(\mathrm{EFS})$ est $y+z-8=0$ .

Question 4. a)

La droite $(\mathrm{PQ})$ passe par $\mathrm{Q}(2\,;3\,;5{,}5)$ et a pour vecteur directeur $\vec k\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ .

Un point $\mathrm{M}(x\,;y\,;z)$ appartient à $(\mathrm{PQ})$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{QM}}=t\vec k$ , c'est-à-dire :

\begin{cases}x-2=0\\y-3=0\\z-5{,}5=t\end{cases}

Donc une représentation paramétrique de $(\mathrm{PQ})$ est :

\begin{cases}x=2\\y=3\\z=5{,}5+t\end{cases}\quad(t\in\mathbb{R}).

Question 4. b)

Le point $\mathrm{P}$ appartient à la droite $(\mathrm{PQ})$ et au plan $(\mathrm{EFS})$ .

Ses coordonnées sont donc de la forme $(2\,;3\,;5{,}5+t)$ et vérifient $y+z-8=0$ :

3+(5{,}5+t)-8=0.

On obtient $8{,}5+t-8=0$ , c'est-à-dire $t=-0{,}5$ .

Alors $z=5{,}5-0{,}5=5$ .

Donc $\mathrm{P}(2\,;3\,;5)$ .

Réponse : $\mathrm{P}(2\,;3\,;5)$ .

Question 4. c)

On a $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\begin{pmatrix}2-2\\3-3\\5{,}5-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0{,}5\end{pmatrix}$ .

Le repère étant orthonormé :

\mathrm{PQ}=\sqrt{0^2+0^2+0{,}5^2}=0{,}5.

Donc l'antenne $[\mathrm{PQ}]$ mesure $0{,}5$ unité de longueur.

Réponse : $\mathrm{PQ}=0{,}5$ .

Question 5.

Les droites sont-elles parallèles ? Le vecteur $\vec k\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ dirige $(\mathrm{PQ})$ et $\vec v\begin{pmatrix}6\\-4\\4\end{pmatrix}$ dirige $\Delta$ .

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (les deux premières coordonnées de $\vec k$ sont nulles, pas celles de $\vec v$ ), donc les droites $(\mathrm{PQ})$ et $\Delta$ ne sont pas parallèles.

Ont-elles un point commun ? Un point commun correspond à des réels $s$ et $t$ vérifiant :

\begin{cases}-4+6s=2\\7-4s=3\\2+4s=5{,}5+t\end{cases}

La première équation donne $6s=6$ , donc $s=1$ .

La deuxième équation donne $4s=4$ , donc $s=1$ : elle est compatible avec la première.

La troisième équation donne alors $t=2+4-5{,}5=0{,}5$ .

Le système admet donc une unique solution $(s\,;t)=(1\,;0{,}5)$ .

Les droites $(\mathrm{PQ})$ et $\Delta$ sont sécantes au point $\mathrm{M}$ de coordonnées $(-4+6\,;7-4\,;2+4)=(2\,;3\,;6)$ .

Le point $\mathrm{M}$ est-il sur l'antenne ? Sur $(\mathrm{PQ})$ , le point $\mathrm{P}$ correspond à $t=-0{,}5$ et le point $\mathrm{Q}$ à $t=0$ , donc le segment $[\mathrm{PQ}]$ correspond à $t\in[-0{,}5\,;0]$ .

Le point $\mathrm{M}$ correspond à $t=0{,}5$ , qui n'appartient pas à $[-0{,}5\,;0]$ (sa cote est $6$ , alors que celles des points de $[\mathrm{PQ}]$ sont comprises entre $5$ et $5{,}5$ ).

Donc $\mathrm{M}\notin[\mathrm{PQ}]$ .

Les droites $(\mathrm{PQ})$ et $\Delta$ sont sécantes en $\mathrm{M}(2\,;3\,;6)$ , mais ce point n'appartient pas au segment $[\mathrm{PQ}]$ : l'oiseau ne percute pas l'antenne.

Réponse : droites sécantes en $\mathrm{M}(2\,;3\,;6)$   l'oiseau ne percute pas l'antenne.

Points clés attendus

Coordonnées des sommets déduites du repère (unités $\mathrm{DC}=6$ , $\mathrm{DA}=\mathrm{DH}=4$ ) et hauteur de la pyramide justifiée (cote de $\mathrm{S}$ moins cote du plan $z=4$ ).
Vecteur normal : deux vecteurs non colinéaires du plan, produits scalaires nuls   équation obtenue en utilisant un point du plan.
Intersection de $(\mathrm{PQ})$ et du plan par substitution de la représentation paramétrique dans l'équation cartésienne.
Position relative de deux droites : non-colinéarité des vecteurs directeurs, puis résolution du système.
Conclusion sur le segment : comparer le paramètre du point d'intersection à l'intervalle des paramètres de $[\mathrm{PQ}]$ .

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2022 (Nouvelle-Calédonie, 27 octobre 2022), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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