Bac 2022, Nouvelle-Calédonie : exercice 3

Question 1.

On a $\vec\imath=\dfrac13\overrightarrow{AB}$, $\vec\jmath=\dfrac12\overrightarrow{AD}$ et $\vec k=\overrightarrow{AE}$, avec $AB=3$, $AD=2$, $AE=1$.

Donc $\overrightarrow{AB}=3\vec\imath$, $\overrightarrow{AD}=2\vec\jmath$ et $\overrightarrow{AE}=\vec k$.

Dans le repère $\left(A\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k\right)$, on a donc $A(0\,;0\,;0)$, $B(3\,;0\,;0)$, $D(0\,;2\,;0)$ et $E(0\,;0\,;1)$.

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle, donc $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$.

Ainsi $\overrightarrow{AG}=3\vec\imath+2\vec\jmath+\vec k$.

Donc G a pour coordonnées $(3\,;2\,;1)$.

Réponse : $G(3\,;2\,;1)$.

Question 2.

Le vecteur $\vec n(2\,;0\,;-3)$ est normal au plan (EHI).

Donc une équation cartésienne de (EHI) est de la forme

Le point $E(0\,;0\,;1)$ appartient au plan (EHI), donc ses coordonnées vérifient l'équation :

Une équation cartésienne de (EHI) est donc $2x-3z+3=0$.

Vérification avec le point $H(0\,;2\,;1)$, qui appartient aussi à (EHI) : $2\times 0-3\times 1+3=0$. L'équation est bien satisfaite.

Donc le plan (EHI) a pour équation cartésienne $2x-3z+3=0$.

Réponse : $2x-3z+3=0$.

Question 3.

Le triangle EIF est contenu dans le plan (ABF), qui est le plan d'équation $y=0$ (les points A, B, E, F ont une ordonnée nulle).

Donc $y_I=0$.

Le triangle EIF est isocèle en I : $IE=IF$. Donc I appartient à la médiatrice de $[EF]$ dans le plan (ABF).

Les points $E(0\,;0\,;1)$ et $F(3\,;0\,;1)$ ont la même cote, donc le milieu de $[EF]$ est $\left(\dfrac32\,;0\,;1\right)$ et la médiatrice de $[EF]$ dans ce plan est la droite d'équation $x=\dfrac32$.

Donc $x_I=\dfrac32$.

Le point I appartient au plan (EHI), donc ses coordonnées vérifient $2x-3z+3=0$ :

Donc I a pour coordonnées $\left(\dfrac32\,;0\,;2\right)$.

Vérification : $IE^2=\dfrac94+1=\dfrac{13}{4}$ et $IF^2=\dfrac94+1=\dfrac{13}{4}$, donc $IE=IF$.

Réponse : $I\left(\dfrac32\,;0\,;2\right)$.

Question 4.

On calcule les coordonnées des vecteurs, coordonnée par coordonnée :

Produit scalaire :

Normes (repère orthonormé) :

Par la formule $\overrightarrow{IE}\cdot\overrightarrow{IF}=IE\times IF\times\cos\widehat{EIF}$ :

Donc $\widehat{EIF}=\arccos\left(-\dfrac5{13}\right)\approx 112{,}6^\circ$, soit $113^\circ$ au degré près.

Réponse : $\widehat{EIF}\approx 113^\circ$.

Question 5. a)

La droite $\Delta$ passe par $R(6\,;-3\,;-1)$ et a pour vecteur directeur $\vec u(-3\,;4\,;1)$.

Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $\Delta$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{RM}=t\vec u$.

Donc une représentation paramétrique de $\Delta$ est

Question 5. b)

Le point K est sur $\Delta$ et dans le plan (BFG) d'équation $x=3$.

Donc il existe $t$ tel que $6-3t=3$, d'où $t=1$.

On reporte $t=1$ dans la représentation paramétrique :

Donc K a pour coordonnées $(3\,;1\,;0)$.

Réponse : $K(3\,;1\,;0)$.

Question 5. c)

On a $B(3\,;0\,;0)$ et $C(3\,;2\,;0)$ : en effet $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

Les points de l'arête $[BC]$ sont les points de coordonnées $(3\,;y\,;0)$ avec $0\leqslant y\leqslant 2$.

Le point $K(3\,;1\,;0)$ a pour abscisse $3$, pour cote $0$, et $0\leqslant 1\leqslant 2$.

Donc K appartient à l'arête $[BC]$ : c'est le milieu de $[BC]$.

Points clés attendus

• Lire les coordonnées dans le repère défini par $\vec\imath$, $\vec\jmath$, $\vec k$ à partir des longueurs AB, AD, AE.

• Équation de plan : utiliser le vecteur normal fourni, puis déterminer la constante avec un point du plan.

• Placer I en combinant le plan (ABF) d'équation $y=0$, le caractère isocèle en I et l'appartenance à (EHI).

• Angle : produit scalaire, normes, puis $\arccos$ avec l'arrondi demandé.

• Pour K : résoudre $x=3$ dans la représentation paramétrique, puis comparer aux coordonnées de $[BC]$ (bornes de $y$).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.