Bac 2022, Nouvelle-Calédonie : exercice 4

Question 1. Réponse d.

Pour tout entier naturel $n$, on a $(-1)^n\in\{-1\,;1\}$, donc :

On a $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(-\dfrac1{n+1}\right)=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1{n+1}=0$.

D'après le théorème des gendarmes (encadrement par deux suites de même limite $0$) :

La suite $(u_n)$ converge, donc les propositions a, b (divergence vers $\pm\infty$) et c (pas de limite) sont fausses.

Donc la réponse est d : la suite $(u_n)$ converge.

Réponse : d.

Question 2. Réponse a.

On a $w_0=\mathrm{e}^{-2v_0}+2$ avec $v_0=\ln(a)$ et $a>0$.

Par propriété de l'exponentielle, $\mathrm{e}^{-2\ln(a)}=\mathrm{e}^{\ln\left(a^{-2}\right)}=a^{-2}=\dfrac1{a^2}$.

Donc :

Donc la réponse est a.

Réponse : a.

Question 3. Réponse b.

Sens de variation. La suite $(v_n)$ est croissante : pour tout $n$, $v_{n+1}\geqslant v_n$, donc $-2v_{n+1}\leqslant-2v_n$.

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc :

En ajoutant $2$ : $w_{n+1}\leqslant w_n$. La suite $(w_n)$ est donc décroissante.

Minoration. Pour tout $n$, $\mathrm{e}^{-2v_n}>0$, donc $w_n>2$ : la suite $(w_n)$ est minorée par $2$.

Élimination. Les propositions c et d sont fausses, car $(w_n)$ est décroissante. La proposition a n'est pas garantie : $w_n\leqslant3$ équivaut à $\mathrm{e}^{-2v_n}\leqslant1$, c'est-à-dire à $v_n\geqslant0$, ce que l'hypothèse ne donne pas. Par exemple, avec $v_n=n-1$ (suite croissante), on a $w_0=\mathrm{e}^{2}+2>3$.

Donc la réponse est b : la suite $(w_n)$ est décroissante et minorée par $2$.

Réponse : b.

Question 4. Réponse b.

On cherche le point fixe $\ell$ de $x\mapsto\dfrac13x+\dfrac83$ : $\ell=\dfrac13\ell+\dfrac83$ équivaut à $\dfrac23\ell=\dfrac83$, soit $\ell=4$.

On pose $c_n=a_n-4$ pour tout entier naturel $n$. Alors :

La suite $(c_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac13$, de premier terme $c_0=a_0-4=-2$.

Donc $c_n=-2\left(\dfrac13\right)^n$, puis :

Vérification sur les premiers termes. On a $a_1=\dfrac13\times2+\dfrac83=\dfrac{10}3$ et $a_2=\dfrac13\times\dfrac{10}3+\dfrac83=\dfrac{34}9$.

La formule b donne $a_1=4-\dfrac23=\dfrac{10}3$ et $a_2=4-\dfrac29=\dfrac{34}9$ : elle est cohérente.

Les autres propositions sont fausses : a donne $a_1=-\dfrac23$, c donne $a_0=3\neq2$, d donne $a_2=\dfrac{50}9$.

Donc la réponse est b : $a_n=-\dfrac2{3^n}+4$.

Réponse : b.

Question 5. Réponse b.

Pour tout entier naturel $n$, $\left(b_n\right)^2\geqslant0$, donc $\left(b_n\right)^2+3\geqslant3>2$.

Donc $0<\dfrac2{\left(b_n\right)^2+3}<1$.

La fonction $\ln$ est strictement négative sur $]0\,;1[$, donc :

On en déduit, pour tout $n$ :

La suite $(b_n)$ est strictement décroissante, quelle que soit la valeur de $b_0$. Les propositions a, c et d sont donc fausses.

Donc la réponse est b : la suite $(b_n)$ est décroissante.

Réponse : b.

Question 6. Réponse b.

Asymptote verticale. On a $\lim\limits_{x\to0^+}\mathrm{e}^x=1$ et $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac1x=+\infty$.

Par produit, $\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=+\infty$ : la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_g$.

Asymptote horizontale. Par croissances comparées :

La limite en $+\infty$ n'est pas finie : il n'y a pas d'asymptote horizontale en $+\infty$. La fonction $g$ n'est pas définie au voisinage de $-\infty$ (son ensemble de définition est $]0\,;+\infty[$), donc il n'y a pas d'asymptote horizontale en $-\infty$.

Donc la réponse est b : une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.

Réponse : b.

Question 7. Réponse d.

On pose $G(x)=\dfrac12\mathrm{e}^{x^2+1}$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

D'après la formule de dérivation d'une composée $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=x^2+1$ et $u'(x)=2x$ :

Donc $G$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. Deux primitives de $f$ différant d'une constante, les autres propositions ne conviennent pas : en dérivant, on trouve $f(x)\left(x^2+1\right)$ pour a, $f(x)\left(4x^2+6\right)$ pour b et $2f(x)$ pour c, qui ne sont pas égales à $f(x)$.

Donc la réponse est d : $F(x)=\dfrac12\mathrm{e}^{x^2+1}$.

Réponse : d.

Points clés attendus

• Théorème des gendarmes avec l'encadrement de $(-1)^n$ (question 1).

• Propriétés de l'exponentielle et monotonie de la composée pour les suites $(v_n)$ et $(w_n)$   distinguer ce qui est garanti (minorée par $2$) de ce qui ne l'est pas (majorée par $3$).

• Suite arithmético-géométrique : point fixe, suite auxiliaire géométrique, vérification sur $a_0$ et $a_1$.

• Signe de $\ln$ sur $]0\,;1[$ pour étudier $b_{n+1}-b_n$.

• Croissances comparées pour la limite de $\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}$, et vérification d'une primitive par dérivation.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.