Bac 2022, Nouvelle-Calédonie : exercice 2

Question 1. a)

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ (énoncé), et on la dérive comme somme de $x\mapsto x\ln(x)$, de $x\mapsto -x$ et d'une constante.

Le produit $x\ln(x)$ est de la forme $uv$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\ln(x)$, dérivables sur $]0\,;+\infty[$, avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac1x$.

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$, on a pour tout $x>0$ :

Donc, pour tout $x>0$ :

Donc, pour tout $x\in\,]0\,;+\infty[$, $f'(x)=\ln(x)$.

Question 1. b)

L'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\mathrm{e}$ est :

On calcule $f'(\mathrm{e})$ :

On calcule $f(\mathrm{e})$ :

On obtient :

Donc la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\mathrm{e}$ a pour équation $y=x-\mathrm{e}-2$.

Réponse : $T : y=x-\mathrm{e}-2$.

Question 1. c)

D'après la question 1. a), $f'(x)=\ln(x)$ pour tout $x>0$.

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, donc $f'$ est dérivable et, pour tout $x>0$ :

Pour tout $x>0$, on a $\dfrac1x>0$, donc $f''(x)>0$ sur $]0\,;+\infty[$.

Une fonction deux fois dérivable dont la dérivée seconde est positive sur un intervalle est convexe sur cet intervalle.

Donc la fonction $f$ est convexe sur $]0\,;+\infty[$.

Question 1. d)

La fonction $f$ est convexe sur $]0\,;+\infty[$ : sa courbe $\mathcal{C}_f$ est donc située au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier au-dessus de $T$.

De plus $f''(x)>0$ pour tout $x>0$, donc la convexité est stricte : la courbe et la tangente n'ont en commun que le point d'abscisse $\mathrm{e}$.

Donc $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de $T$ sur $]0\,;+\infty[$, avec un seul point commun, le point d'abscisse $\mathrm{e}$.

Réponse : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$.

Question 2. a)

Pour $x>0$, on a $f(x)=x\ln(x)-x-2$.

D'après le théorème des croissances comparées :

De plus :

Par somme de limites :

Donc la limite de $f$ en $0$ est $-2$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to0}f(x)=-2$.

Question 2. b)

Pour tout $x>0$, on factorise par $x$ :

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$, donc :

De plus $\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty$.

Par produit de limites :

Puis, par somme avec la constante $-2$ :

Donc la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.

Question 3.

Pour tout $x>0$, $f'(x)=\ln(x)$. Son signe est celui de $\ln(x)$ :

• pour $0<x<1$, $\ln(x)<0$, donc $f'(x)<0$

• $f'(1)=\ln(1)=0$

• pour $x>1$, $\ln(x)>0$, donc $f'(x)>0$.

On calcule la valeur au point où la dérivée s'annule :

On en déduit les variations de $f$ :

• $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;1]$, de la limite $-2$ (en $0$) à $f(1)=-3$

• $f$ est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$, de $f(1)=-3$ à la limite $+\infty$ (en $+\infty$).

Donc $f$ admet un minimum égal à $-3$, atteint en $x=1$.

Question 4. a)

Sur $]0\,;1]$. La fonction $f$ est strictement décroissante et tend vers $-2$ en $0$, donc pour tout $x\in\,]0\,;1]$ on a $f(x)<-2$, donc $f(x)<0$.

L'équation $f(x)=0$ n'a donc aucune solution sur $]0\,;1]$.

Sur $[1\,;+\infty[$. On vérifie les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour les fonctions strictement monotones) :

• $f$ est dérivable, donc continue, sur $[1\,;+\infty[$

• $f$ est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$

• $f(1)=-3<0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, donc $0$ est une valeur comprise entre $f(1)$ et la limite en $+\infty$.

D'après ce théorème, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[1\,;+\infty[$.

Comme il n'y a aucune solution sur $]0\,;1]$, cette solution est la seule sur $]0\,;+\infty[$.

Donc l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0\,;+\infty[$.

Question 4. b)

On calcule à la calculatrice :

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$, qui contient $4{,}3$, $\alpha$ et $4{,}4$.

Comme $f(4{,}3)<0=f(\alpha)<f(4{,}4)$, la stricte croissance de $f$ donne :

Donc $\alpha\in\,]4{,}3\,;4{,}4[$.

Question 4. c)

On sait que $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;1]$ avec $f<0$ sur cet intervalle, et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$ avec $f(\alpha)=0$.

• Pour $x\in\,]0\,;\alpha[$ : $f(x)<0$

• $f(\alpha)=0$

• Pour $x\in\,]\alpha\,;+\infty[$ : $f(x)>0$ (stricte croissance sur $[1\,;+\infty[$ et $f(\alpha)=0$).

Donc $f$ est strictement négative sur $]0\,;\alpha[$, nulle en $\alpha$ et strictement positive sur $]\alpha\,;+\infty[$.

Question 5.

Dans la fonction seuil, la variable x vaut d'abord $4{,}3$ et augmente de $0{,}01$ à chaque tour de boucle, tant que $f(x)<0$.

On calcule les valeurs successives :

• $f(4{,}3)\approx-0{,}028<0$ : la boucle continue, x devient $4{,}31$

• $f(4{,}31)\approx-0{,}013<0$ : la boucle continue, x devient $4{,}32$

• $f(4{,}32)\approx0{,}001>0$ : la condition n'est plus vérifiée, la boucle s'arrête.

La fonction renvoie donc la valeur $4{,}32$. Du fait de l'erreur d'arrondi sur les nombres flottants, Python affiche en réalité 4.319999999999999.

Interprétation : puisque $f(4{,}31)<0$ et $f(4{,}32)>0$, on a $4{,}31<\alpha<4{,}32$. La valeur renvoyée est donc une valeur approchée par excès de $\alpha$ à $0{,}01$ près.

Donc seuil(0.01) renvoie $4{,}32$ (à l'erreur d'arrondi flottant près), valeur approchée par excès à $0{,}01$ près de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x)=0$.

Réponse : $4{,}32$.

Points clés attendus

• Dérivée de $x\ln(x)$ par la formule $(uv)'=u'v+uv'$, avec simplification complète.

• Convexité justifiée par le signe de $f''$, puis position de la courbe par rapport à la tangente.

• Limite en $0$ par croissances comparées   limite en $+\infty$ après factorisation.

• Théorème des valeurs intermédiaires : continuité, stricte monotonie, signes aux bornes, puis unicité sur tout l'intervalle.

• Exécution de l'algorithme terme à terme et interprétation comme encadrement de $\alpha$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.