Bac 2022, Métropole : exercice 2

Lecture de la courbe de $f'$ (questions 1 à 3).

D'après la courbe de $f'$ et les données admises par l'énoncé :

• $f'$ est strictement positive sur $\left]-\infty\,;-\dfrac12\right[$, s'annule en $-\dfrac12$ et est strictement négative sur $\left]-\dfrac12\,;+\infty\right[$

• $f'$ est croissante sur $\left]-\infty\,;-\dfrac32\right]$ et décroissante sur $\left[-\dfrac32\,;+\infty\right[$, car elle admet un maximum en $-\dfrac32$.

On utilisera aussi les deux résultats de cours suivants.

• Le signe de $f'$ donne les variations de $f$.

• La fonction $f$ est convexe sur un intervalle $I$ si et seulement si $f'$ est croissante sur $I$, c'est-à-dire si et seulement si $f''\geqslant 0$ sur $I$. Elle est concave si et seulement si $f'$ est décroissante sur $I$, c'est-à-dire si et seulement si $f''\leqslant 0$ sur $I$.

Question 1.

Réponse b.

Sur $\left]-\infty\,;-\dfrac12\right[$, on a $f'>0$ donc $f$ est strictement croissante.

Sur $\left]-\dfrac12\,;+\infty\right[$, on a $f'<0$ donc $f$ est strictement décroissante.

La dérivée $f'$ s'annule en $-\dfrac12$ en changeant de signe, de $+$ à $-$. Donc $f$ admet un maximum en $-\dfrac12$.

Élimination des autres propositions.

• La proposition a est fausse : $f'\left(-\dfrac32\right)>0$, donc $f$ est strictement croissante au voisinage de $-\dfrac32$ et n'y admet pas de maximum.

• La proposition c est fausse : en $-\dfrac12$, c'est un maximum et non un minimum.

• La proposition d est fausse : la courbe de $f'$ ne coupe pas l'axe des abscisses en $-1$, donc $f'(-1)\neq 0$ et la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-1$ n'est pas horizontale.

Donc la fonction $f$ admet un maximum en $-\dfrac12$.

Question 2.

Réponse a.

La fonction $f'$ est croissante sur $\left]-\infty\,;-\dfrac32\right[$. Donc $f$ est convexe sur cet intervalle.

Élimination des autres propositions.

• Les propositions b et d sont fausses : $f'$ est strictement décroissante sur $\left]-\dfrac32\,;-\dfrac12\right[$, intervalle inclus dans $\left]-\infty\,;-\dfrac12\right[$. Donc $f$ n'est pas convexe sur $\left]-\infty\,;-\dfrac12\right[$ (b), et elle n'est pas concave non plus sur cet intervalle puisque $f'$ est croissante sur $\left]-\infty\,;-\dfrac32\right[$ (d).

• La proposition c est fausse : $f'$ change de sens de variation en $-\dfrac32$ (croissante puis décroissante), donc $f$ passe de convexe à concave en $-\dfrac32$ et $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $-\dfrac32$.

Donc la fonction $f$ est convexe sur $\left]-\infty\,;-\dfrac32\right[$.

Question 3.

Réponse c.

La fonction $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (car $f$ est deux fois dérivable) et admet un maximum en $-\dfrac32$, qui est un point intérieur de l'intervalle $\mathbb{R}$.

Une fonction dérivable qui admet un extremum en un point intérieur d'un intervalle a une dérivée nulle en ce point. Donc

Élimination des autres propositions.

• Les propositions a et b sont fausses. Si $f''$ était positive sur un intervalle, $f'$ serait croissante sur cet intervalle. Or $f'$ est strictement décroissante sur $\left]-\dfrac32\,;-\dfrac12\right[$, intervalle inclus dans $\left]-\infty\,;-\dfrac12\right[$ : la condition de a n'est pas vérifiée. De même, $f'$ est strictement décroissante sur $\left[-\dfrac32\,;-1\right]$, intervalle inclus dans $[-2\,;-1]$ : la condition de b n'est pas vérifiée.

• La proposition d est fausse : en $-3$, la courbe de $f'$ est croissante avec une tangente non horizontale, donc $f''(-3)\neq 0$.

Donc $f''\left(-\dfrac32\right)=0$.

Question 4.

Réponse b.

Supposons la suite $\left(u_n\right)$ croissante. Alors, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\geqslant u_0$.

Or $v_n\geqslant u_n$ pour tout $n$. Donc

Donc la suite $\left(v_n\right)$ est minorée par $u_0$.

Les autres propositions ne sont pas assurées. Les limites de $\left(u_n\right)$ et de $\left(w_n\right)$ sont différentes ($1$ et $3$) : le théorème des gendarmes ne s'applique donc pas à $\left(v_n\right)$. On le voit sur des contre-exemples.

• Avec $u_n=1$, $w_n=3$ et $v_n=1$ si $n$ est pair, $v_n=3$ si $n$ est impair, on a bien $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$ et la suite $\left(v_n\right)$ diverge. La proposition a est donc fausse.

• Avec $u_n=1$, $w_n=3$ et $v_n=2$, la suite $\left(v_n\right)$ converge. La proposition d est donc fausse.

• Avec $u_n=1-\dfrac{1}{n+1}$, $w_n=3$ et $v_n=u_n$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1$, $\lim\limits_{n\to+\infty}w_n=3$, $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$, et pourtant $v_0=0\notin[1\,;3]$. La proposition c est donc fausse.

Donc seule la proposition b est toujours vraie.

Question 5.

Réponse b.

Pour tout entier $n\geqslant 1$, on a $u_n\leqslant u_{n+1}$. Donc la suite $\left(u_n\right)$ est croissante à partir du rang $1$.

Pour tout entier $n\geqslant 1$, on a $u_{n+1}\leqslant\dfrac1n\leqslant 1$. Donc $u_k\leqslant 1$ pour tout entier $k\geqslant 2$, et aussi $u_1\leqslant u_2\leqslant 1$. La suite $\left(u_n\right)$ est donc majorée par $1$.

La suite $\left(u_n\right)$ est croissante (à partir du rang $1$) et majorée. D'après le théorème de la limite monotone, elle converge.

Élimination des autres propositions.

• La proposition a est fausse puisque la suite converge.

• Les propositions c et d sont fausses : la suite constante égale à $-1$ vérifie $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\dfrac1n$ pour tout $n\geqslant 1$, et sa limite est $-1$, qui n'est ni $0$ ni $1$. On peut seulement affirmer que la limite est inférieure ou égale à $0$, car $u_{n+1}\leqslant\dfrac1n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1n=0$.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ converge.

Question 6.

Réponse b.

Soit $n$ un entier naturel. D'après l'hypothèse appliquée au rang $n+1$, on a $u_{n+1}>n+1$. D'après l'hypothèse appliquée au rang $n$, on a $u_n<n+1$. Donc

Donc la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante, donc croissante.

Élimination des autres propositions.

• La proposition a est fausse : pour tout $n$, $u_n$ est strictement compris entre les entiers consécutifs $n$ et $n+1$, et il n'existe aucun entier strictement compris entre deux entiers consécutifs. Donc $u_n$ n'est jamais un entier.

• Les propositions c et d sont fausses : on a $u_n>n$ pour tout $n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}n=+\infty$. D'après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$. La suite admet donc une limite (infinie) et elle diverge, donc elle n'est pas convergente.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

Points clés attendus

• Relier le signe de $f'$ aux variations de $f$, et le sens de variation de $f'$ à la convexité de $f$ et au signe de $f''$.

• Savoir qu'un extremum de $f'$ en un point intérieur impose $f''=0$ en ce point, et qu'un changement de convexité correspond à un point d'inflexion.

• Ne pas appliquer le théorème des gendarmes quand les limites des deux suites encadrantes sont différentes, et justifier une proposition fausse par un contre-exemple.

• Citer le théorème de la limite monotone (suite croissante et majorée) et vérifier ses deux hypothèses.

• Citer le théorème de comparaison pour une suite minorée par une suite de limite $+\infty$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.