Bac 2022, Métropole : exercice 4

Partie A

Question 1. a)

Pour tout réel $x>0$, on met $x^{2}$ en facteur :

On cherche la limite de chaque facteur en $+\infty$.

• $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{13{,}7}{x}=0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-1+\dfrac{13{,}7}{x}\right)=-1$.

• $\lim\limits_{x\to+\infty}0{,}06\,x^{2}=+\infty$.

Par produit des limites ($+\infty$ par un facteur de limite $-1<0$), on obtient

Donc la limite de $f$ en $+\infty$ est $-\infty$.

Question 1. b)

La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc elle est dérivable sur $[0\,;+\infty[$. Pour tout $x\geqslant0$,

Comme $0{,}06>0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $-2x+13{,}7$ :

On en déduit :

• $f'(x)>0$ sur $[0\,;6{,}85[$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,;6{,}85]$

• $f'(6{,}85)=0$

• $f'(x)<0$ sur $]6{,}85\,;+\infty[$, donc $f$ est strictement décroissante sur $[6{,}85\,;+\infty[$.

On a $f(0)=0$, $f(6{,}85)$ est le maximum de $f$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ : c'est le tableau de variations donné par l'énoncé.

Question 1. c)

Pour tout réel $x\geqslant0$,

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Comme $0{,}06\neq0$,

Donc l'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=0$ est $\{0\,;13{,}7\}$.

Réponse : $\mathcal{S}=\{0\,;13{,}7\}$.

Question 2. a)

On cherche la limite du produit $(-0{,}15x+2{,}2)\,\mathrm{e}^{0{,}2x}$ en $+\infty$.

• $\lim\limits_{x\to+\infty}(-0{,}15x+2{,}2)=-\infty$ car $-0{,}15<0$.

• $\lim\limits_{x\to+\infty}0{,}2x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to+\infty}\mathrm{e}^{X}=+\infty$, donc par composition $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{0{,}2x}=+\infty$.

Par produit, il n'y a pas de forme indéterminée :

En retranchant la constante $2{,}2$, on obtient

Donc la limite de $g$ en $+\infty$ est $-\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$.

Question 2. b)

La fonction $g$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ comme somme et produit de fonctions dérivables. On écrit $g=uv-2{,}2$ avec, pour tout $x\geqslant0$,

On a $u'(x)=-0{,}15$. D'après la dérivée d'une composée, $v'(x)=0{,}2\,\mathrm{e}^{0{,}2x}$.

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$,

Donc, pour tout $x\in[0\,;+\infty[$, $g'(x)=(-0{,}03x+0{,}29)\,\mathrm{e}^{0{,}2x}$.

Question 2. c)

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{0{,}2x}>0$. Donc $g'(x)$ est du signe de $-0{,}03x+0{,}29$.

On résout :

On en déduit :

• $g'(x)>0$ sur $\left[0\,;\dfrac{29}{3}\right[$, donc $g$ est strictement croissante sur $\left[0\,;\dfrac{29}{3}\right]$

• $g'\left(\dfrac{29}{3}\right)=0$

• $g'(x)<0$ sur $\left]\dfrac{29}{3}\,;+\infty\right[$, donc $g$ est strictement décroissante sur $\left[\dfrac{29}{3}\,;+\infty\right[$.

Tableau de variations : on a $g(0)=(2{,}2)\,\mathrm{e}^{0}-2{,}2=0$, puis $g$ croît jusqu'au maximum atteint en $x=\dfrac{29}{3}$, puis décroît vers $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$.

Valeur du maximum : on a $-0{,}15\times\dfrac{29}{3}+2{,}2=-1{,}45+2{,}2=0{,}75$ et $0{,}2\times\dfrac{29}{3}=\dfrac{29}{15}$, donc

Donc le maximum de $g$ sur $[0\,;+\infty[$ est $g\left(\dfrac{29}{3}\right)\approx2{,}98$ à $10^{-2}$ près.

Réponse : maximum $0{,}75\,\mathrm{e}^{29/15}-2{,}2\approx2{,}98$.

Question 2. d)

On cherche les solutions non nulles de $g(x)=0$ sur $[0\,;+\infty[$, en distinguant deux intervalles.

Sur $\left]0\,;\dfrac{29}{3}\right]$. La fonction $g$ est strictement croissante sur $\left[0\,;\dfrac{29}{3}\right]$ et $g(0)=0$. Donc $g(x)>g(0)=0$ pour tout $x\in\left]0\,;\dfrac{29}{3}\right]$ : l'équation $g(x)=0$ n'y a pas de solution.

Sur $\left[\dfrac{29}{3}\,;+\infty\right[$. On vérifie les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour les fonctions strictement monotones) :

• $g$ est continue sur cet intervalle, car dérivable

• $g$ est strictement décroissante sur cet intervalle

• $g\left(\dfrac{29}{3}\right)\approx2{,}98>0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$, donc $0$ est une valeur strictement comprise entre $g\left(\dfrac{29}{3}\right)$ et la limite en $+\infty$.

Donc l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left[\dfrac{29}{3}\,;+\infty\right[$.

Conclusion : l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution non nulle, notée $\alpha$.

Valeur approchée. À la calculatrice :

Comme $g$ est strictement décroissante sur $\left[\dfrac{29}{3}\,;+\infty\right[$, on a $13{,}72<\alpha<13{,}73$.

Pour déterminer l'arrondi, on évalue aussi le milieu : $g(13{,}715)\approx0{,}017>0$ et $g(13{,}725)\approx-0{,}001<0$. Donc $13{,}715<\alpha<13{,}725$.

Donc $\alpha\approx13{,}72$ à $10^{-2}$ près.

Réponse : $\alpha\approx13{,}72$.

Partie B

Question 1. a)

D'après la question 1. b) de la partie A, le maximum de $f$ est atteint en $x=6{,}85$.

On calcule $f(6{,}85)=0{,}06\left(-6{,}85^{2}+13{,}7\times6{,}85\right)$. Comme $13{,}7=2\times6{,}85$, on a $-6{,}85^{2}+13{,}7\times6{,}85=6{,}85^{2}$, donc

L'unité de longueur est la dizaine de yards, donc cette hauteur vaut $2{,}81535\times10=28{,}1535$ yards.

Donc, selon ce modèle, la hauteur maximale atteinte par la balle est d'environ $28{,}15$ yards.

Question 1. b)

On a $f'(x)=0{,}06(-2x+13{,}7)$, donc

Donc $f'(0)=0{,}822$.

Question 1. c)

Par définition, l'angle de décollage $d$ vérifie $\tan(d)=f'(0)=0{,}822$.

D'après le tableau, à la valeur $\tan(\theta)=0{,}822$ correspond $\theta=39{,}42$ degrés.

Donc, selon le premier modèle, l'angle de décollage est d'environ $39{,}4$ degrés, arrondi au dixième.

Réponse : $d\approx39{,}4$ degrés.

Question 1. d)

Pour tout réel $x$, $f(x)=-0{,}06\left(x-6{,}85\right)^{2}+0{,}06\times6{,}85^{2}$. La courbe $\mathcal{C}_f$ est donc une parabole, symétrique par rapport à la droite d'équation $x=6{,}85$.

Les abscisses $0$ et $13{,}7$ sont symétriques par rapport à cette droite, car $\dfrac{0+13{,}7}{2}=6{,}85$. Les tangentes à $\mathcal{C}_f$ en ces deux points sont donc symétriques par rapport à l'axe de symétrie : elles font avec l'axe des abscisses des angles égaux.

On le vérifie par le calcul : $f'(13{,}7)=0{,}06\times(-27{,}4+13{,}7)=-0{,}822=-f'(0)$.

Donc la propriété graphique est la symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la droite d'équation $x=6{,}85$, ce qui justifie que les angles de décollage et d'atterrissage sont égaux.

Question 2. a)

D'après la question 2. c) de la partie A, le maximum de $g$ est $g\left(\dfrac{29}{3}\right)\approx2{,}98$ dizaines de yards.

Cette hauteur vaut $2{,}98\times10\approx29{,}8$ yards.

Donc, selon le second modèle, la hauteur maximale atteinte par la balle est d'environ $29{,}8$ yards.

Question 2. b)

L'angle de décollage $d$ vérifie $\tan(d)=g'(0)=0{,}29$.

D'après le tableau, à la valeur $\tan(\theta)=0{,}29$ correspond $\theta=16{,}17$ degrés.

Donc, selon le second modèle, l'angle de décollage est d'environ $16{,}2$ degrés, arrondi au dixième.

Réponse : $d\approx16{,}2$ degrés.

Question 2. c)

Par définition, l'angle d'atterrissage $a$ vérifie

La fonction tangente est strictement croissante sur $\left[0^{\circ}\,;90^{\circ}\right[$. On calcule

Comme $1{,}842<1{,}87<1{,}921$, on a $61{,}5^{\circ}<a<62{,}5^{\circ}$.

Donc $62$ est une valeur approchée de $a$ à l'unité près. Plus précisément, $a\approx61{,}9$ degrés.

Partie C

On compare, pour chaque grandeur, les données des joueurs professionnels et les valeurs fournies par les deux modèles (hauteurs et distances en yards, angles en degrés) :

• angle de décollage : $24$ (données), $39{,}4$ (modèle $f$), $16{,}2$ (modèle $g$)

• hauteur maximale : $32$ (données), $28{,}2$ (modèle $f$), $29{,}8$ (modèle $g$)

• angle d'atterrissage : $52$ (données), $39{,}4$ (modèle $f$), $62$ (modèle $g$)

• distance horizontale au point de chute : $137$ (données), $137$ (modèle $f$, car $13{,}7$ dizaines de yards), environ $137{,}2$ (modèle $g$, car $\alpha\approx13{,}72$).

Écarts avec les données :

• angle de décollage : $15{,}4$ pour $f$ contre $7{,}8$ pour $g$

• hauteur maximale : $3{,}8$ pour $f$ contre $2{,}2$ pour $g$

• angle d'atterrissage : $12{,}6$ pour $f$ contre $10$ pour $g$

• distance : les deux modèles sont équivalents.

De plus, les angles de décollage et d'atterrissage des professionnels sont différents ($24$ et $52$). Le modèle $f$ donne nécessairement des angles égaux, par symétrie de la parabole, alors que le modèle $g$ permet des angles différents.

Donc le modèle $g$ semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel.

Points clés attendus

• Lever la forme du produit en $+\infty$ par factorisation (pour $f$) ou par produit de limites (pour $g$), en nommant la limite d'une composée.

• Dériver $g$ avec $(uv)'=u'v+uv'$ et la dérivée de $\mathrm{e}^{0{,}2x}$, puis justifier le signe par $\mathrm{e}^{0{,}2x}>0$.

• Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur un intervalle où $g$ est continue et strictement monotone, après avoir traité à part l'intervalle où $g>0$.

• Interpréter les angles par $\tan(d)=f'(0)$ et $\tan(a)=-f'(13{,}7)$ (ou avec $g$), et lire le tableau de valeurs.

• En partie C, comparer chaque grandeur aux données et conclure en justifiant le choix du modèle.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.