Bac 2022, Centres étrangers : exercice 2

Question 1.

Limite en $0$.

Pour tout $x>0$, $f(x)=x\ln(x)+1$. D'après le théorème des croissances comparées,

Par somme avec la constante $1$,

Limite en $+\infty$.

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$. Par produit, $\lim\limits_{x\to+\infty}x\ln(x)=+\infty$. Par somme avec la constante $1$,

Donc $\lim\limits_{x\to0}f(x)=1$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to0^{+}}f(x)=1$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Question 2. a)

On admet que $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. On écrit $f(x)=u(x)\,v(x)+1$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\ln(x)$. Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $]0\,;+\infty[$, avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac1x$.

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$, pour tout $x>0$,

Donc, pour tout réel $x>0$, $f'(x)=1+\ln(x)$.

Question 2. b)

Le signe de $f'(x)$ est celui de $1+\ln(x)$. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante,

On en déduit :

• $f'(x)<0$ sur $\left]0\,;\dfrac1{\mathrm{e}}\right[$, donc $f$ est strictement décroissante sur $\left]0\,;\dfrac1{\mathrm{e}}\right]$

• $f'\left(\dfrac1{\mathrm{e}}\right)=0$

• $f'(x)>0$ sur $\left]\dfrac1{\mathrm{e}}\,;+\infty\right[$, donc $f$ est strictement croissante sur $\left[\dfrac1{\mathrm{e}}\,;+\infty\right[$.

La fonction $f$ admet donc un minimum en $\dfrac1{\mathrm{e}}$, de valeur

Tableau de variations : $f$ part de la limite $1$ en $0$, décroît jusqu'à la valeur $1-\dfrac1{\mathrm{e}}$ atteinte en $\dfrac1{\mathrm{e}}$, puis croît jusqu'à la limite $+\infty$ en $+\infty$.

Donc le minimum de $f$ sur $]0\,;+\infty[$ est $1-\dfrac1{\mathrm{e}}$, atteint en $\dfrac1{\mathrm{e}}$.

Question 2. c)

Soit $x\in\,]0\,;1[$.

Minoration. Le minimum de $f$ sur $]0\,;+\infty[$ est $1-\dfrac1{\mathrm{e}}$. Donc

Comme $\mathrm{e}>1$, on a $\dfrac1{\mathrm{e}}<1$, donc $1-\dfrac1{\mathrm{e}}>0$. Ainsi $f(x)>0$.

Majoration. On a $x>0$ et $\ln(x)<0$ car $0<x<1$. Donc $x\ln(x)<0$, puis

On a donc $0<f(x)<1$.

Donc, pour tout $x\in\,]0\,;1[$, $f(x)\in\,]0\,;1[$.

Question 3. a)

La tangente $(T)$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ a pour équation

On calcule :

D'où

Donc la tangente $(T)$ a pour équation $y=x$.

Réponse : $(T)\,:\,y=x$.

Question 3. b)

La fonction $f'$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et, pour tout $x>0$,

Pour tout $x>0$, $\dfrac1x>0$. Donc $f''>0$ sur $]0\,;+\infty[$.

Donc la fonction $f$ est convexe sur $]0\,;+\infty[$.

Question 3. c)

La fonction $f$ est convexe sur $]0\,;+\infty[$ d'après la question précédente. Or la courbe d'une fonction convexe est située au-dessus de chacune de ses tangentes.

Donc $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de sa tangente $(T)$ d'équation $y=x$. Cela s'écrit

Donc, pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x)\geqslant x$.

Question 4. a)

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété : $0<u_n<1$.

Initialisation. Par hypothèse, $u_0\in\,]0\,;1[$, donc $0<u_0<1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $0<u_k<1$ (hypothèse de récurrence). Montrons $P(k+1)$.

On a $u_k\in\,]0\,;1[$. D'après la question 2. c), $f(u_k)\in\,]0\,;1[$.

Or $u_{k+1}=f(u_k)$. Donc $0<u_{k+1}<1$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $0<u_n<1$.

Question 4. b)

Soit $n$ un entier naturel. D'après la question 4. a), $u_n>0$. On peut donc appliquer l'inégalité de la question 3. c) au réel $x=u_n$ :

Cette inégalité est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

Question 4. c)

La suite $\left(u_n\right)$ est croissante d'après la question 4. b). Elle est majorée par $1$, car $u_n<1$ pour tout $n$ d'après la question 4. a).

D'après le théorème de la limite monotone (une suite croissante et majorée converge), la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ converge.

Points clés attendus

• Citer les croissances comparées pour la limite de $x\ln(x)$ en $0$.

• Dériver $x\ln(x)$ avec $(uv)'=u'v+uv'$, justifier le signe de $f'$ et donner la valeur exacte du minimum.

• Étudier la convexité par le signe de $f''$, puis utiliser la position de la courbe par rapport à sa tangente.

• Rédiger la récurrence complète (initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence, conclusion) en citant la propriété de $f$ utilisée.

• Citer le théorème de la limite monotone et vérifier ses deux hypothèses : suite croissante, suite majorée.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.