Bac 2022, Métropole : exercice 1

Partie A

Question 1.

On traduit les données de l'énoncé en probabilités.

• $70\,\%$ des coyotes sont malades : $P(M)=0{,}7$.

• Si le coyote est malade, le test est positif dans $97\,\%$ des cas : $P_M(T)=0{,}97$.

• Si le coyote n'est pas malade, le test est négatif dans $95\,\%$ des cas : $P_{\overline{M}}(\overline{T})=0{,}95$.

Les évènements $M$ et $\overline{M}$ sont contraires, donc

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$, donc

L'arbre pondéré se complète ainsi :

• branche $M$ de poids $0{,}7$, suivie de la branche $T$ de poids $0{,}97$ et de la branche $\overline{T}$ de poids $0{,}03$

• branche $\overline{M}$ de poids $0{,}3$, suivie de la branche $T$ de poids $0{,}05$ et de la branche $\overline{T}$ de poids $0{,}95$.

Question 2.

On cherche $P(M\cap T)$.

D'après la formule des probabilités conditionnelles,

On remplace par les valeurs de l'arbre :

Donc la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif est $0{,}679$.

Réponse : $P(M\cap T)=0{,}679$.

Question 3.

Les évènements $M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers : ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers entier, et aucun n'est de probabilité nulle.

D'après la formule des probabilités totales,

On a déjà $P(M\cap T)=0{,}679$.

Par la formule des probabilités conditionnelles,

On obtient donc

Donc la probabilité que le test d'un coyote capturé au hasard soit positif est bien égale à $0{,}694$.

Question 4.

La valeur prédictive positive est la probabilité de $M$ sachant $T$ :

On remplace par les valeurs obtenues aux questions 2 et 3 :

Donc la valeur prédictive positive du test, arrondie au millième, est $0{,}978$.

Réponse : $P_T(M)=\dfrac{0{,}679}{0{,}694}\approx 0{,}978$.

Question 5. a)

Par analogie avec la valeur prédictive positive, la valeur prédictive négative du test est la probabilité que le coyote ne soit pas malade sachant que son test est négatif, c'est-à-dire $P_{\overline{T}}(\overline{M})$.

On calcule d'abord $P(\overline{T})$. Les évènements $T$ et $\overline{T}$ sont contraires, donc

Puis, d'après la formule des probabilités conditionnelles,

On en déduit

Donc la valeur prédictive négative du test, arrondie au millième, est $0{,}931$.

Réponse : $P_{\overline{T}}(\overline{M})=\dfrac{0{,}285}{0{,}306}\approx 0{,}931$.

Question 5. b)

On a $0{,}978>0{,}931$.

Un coyote dont le test est positif est effectivement malade avec une probabilité d'environ $97{,}8\,\%$.

Un coyote dont le test est négatif n'est effectivement pas malade avec une probabilité d'environ $93{,}1\,\%$ seulement.

Donc le test est plus fiable lorsqu'il est positif que lorsqu'il est négatif : un résultat négatif laisse davantage de place au doute qu'un résultat positif.

Partie B

Question 1. a)

Capturer un coyote au hasard et regarder si son test est positif est une épreuve de Bernoulli, dont le succès « le test est positif » a pour probabilité $p=0{,}694$.

On répète cette épreuve $5$ fois. Le choix des coyotes est assimilé à un tirage avec remise : les $5$ épreuves sont donc identiques et indépendantes.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès. Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0{,}694$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(5\,;\,0{,}694)$.

Question 1. b)

D'après la formule de la loi binomiale,

Pour $k=1$ :

Donc la probabilité que, dans un échantillon de cinq coyotes, un seul ait un test positif est $0{,}03$, arrondie au centième.

Réponse : $P(X=1)\approx 0{,}03$.

Question 1. c)

L'évènement « au moins quatre coyotes sur cinq ont un test positif » est $\{X\geqslant 4\}$.

Les évènements $\{X=4\}$ et $\{X=5\}$ sont incompatibles, donc

On calcule chaque terme :

D'où

Comme $0{,}516>0{,}5$, la probabilité qu'au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif est supérieure à $\dfrac{1}{2}$.

Donc l'affirmation du vétérinaire est vraie.

Question 2.

Soit $n$ le nombre de coyotes capturés. On assimile encore la capture à $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès $0{,}694$.

L'évènement « aucun coyote n'a un test positif » a pour probabilité $0{,}306^{n}$.

L'évènement « au moins un coyote a un test positif » est son contraire, de probabilité $1-0{,}306^{n}$.

On cherche les entiers $n$ tels que

On teste des valeurs de $n$ :

• pour $n=3$ : $1-0{,}306^{3}\approx 0{,}971<0{,}99$

• pour $n=4$ : $1-0{,}306^{4}\approx 0{,}991>0{,}99$.

Comme $0<0{,}306<1$, la suite $\left(0{,}306^{n}\right)$ est strictement décroissante. Donc $1-0{,}306^{n}$ est strictement croissant en $n$, et l'inégalité reste vraie pour tout $n\geqslant 4$.

Donc les vétérinaires doivent capturer au moins $4$ coyotes pour que la probabilité qu'au moins l'un d'eux présente un test positif soit supérieure à $0{,}99$.

Réponse : $n\geqslant 4$.

Points clés attendus

• Traduire les données en probabilités conditionnelles et compléter l'arbre, en utilisant que la somme des poids des branches issues d'un nœud vaut $1$.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{M\,;\overline{M}\}$ pour démontrer $P(T)=0{,}694$.

• Distinguer $P_T(M)$ (valeur prédictive positive) et $P_{\overline{T}}(\overline{M})$ (valeur prédictive négative), et interpréter leur comparaison en contexte.

• Justifier la loi binomiale : $5$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise), avec $n=5$ et $p=0{,}694$.

• Pour la dernière question, passer par l'évènement contraire « aucun test positif », de probabilité $0{,}306^{n}$, et conclure sur le plus petit entier $n$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.