Bac 2022, Centres étrangers : exercice 3

Partie A

Question 1. Limite en $-\infty$. On a $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}(-x)=+\infty$.

Par somme des limites :

Limite en $+\infty$. La limite est une forme indéterminée ($+\infty-\infty$). Pour $x>0$, on factorise :

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}-1\right)=+\infty$.

Par produit des limites (avec $\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty$) :

Réponse : $\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=+\infty$.

Question 2. La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$ :

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et que $\mathrm{e}^{0}=1$ :

• pour $x<0$, $\mathrm{e}^{x}<1$ donc $h'(x)<0$

• $h'(0)=0$

• pour $x>0$, $\mathrm{e}^{x}>1$ donc $h'(x)>0$.

Donc $h$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

On a $h(0)=\mathrm{e}^{0}-0=1$.

Tableau de variations : $h$ décroît de $+\infty$ (limite en $-\infty$) jusqu'à son minimum $h(0)=1$ atteint en $0$, puis croît de $1$ jusqu'à $+\infty$ (limite en $+\infty$).

Question 3. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0<a<b$.

La fonction $h$ est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ (question 2) et $a$ et $b$ appartiennent à cet intervalle. Donc $h(a)<h(b)$.

Par conséquent $h(a)-h(b)<0$.

Partie B

Question 1. La fonction $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(x)=\mathrm{e}^{x}$. On a $f(0)=1$ et $f'(0)=1$.

La tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$, soit

Question 2. Lorsque $n\to+\infty$, on a $\dfrac1n\to 0$.

La fonction exponentielle étant continue en $0$ :

Par somme des limites :

Donc la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $0$ : l'écart entre $T$ et $\mathcal{C}_f$ tend vers $0$ au voisinage de $0$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$.

Question 3. a) Pour tout entier naturel $n$ non nul :

De même $u_{n+1}=h\left(\dfrac1{n+1}\right)-1$.

Donc

Question 3. b) Pour tout entier $n\geqslant 1$, on a $n+1>n>0$, donc

On applique la question 3 de la partie A avec $a=\dfrac1{n+1}$ et $b=\dfrac1n$ :

D'après la question 3. a), $u_{n+1}-u_n<0$ pour tout $n\geqslant 1$.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.

Question 4. On lit dans le tableau : $u_7\approx 0{,}010708>10^{-2}$ et $u_8\approx 0{,}008148<10^{-2}$.

Pour $n\leqslant 7$, les termes $u_1,\dots,u_7$ sont tous supérieurs à $10^{-2}$ (la suite étant décroissante, ils sont plus grands que $u_7$).

Pour $n\geqslant 8$, la suite étant décroissante, $u_n\leqslant u_8<10^{-2}$.

Donc la plus petite valeur de $n$ pour laquelle l'écart entre $T$ et $\mathcal{C}_f$ semble inférieur à $10^{-2}$ est $n=8$.

Réponse : $n=8$.

Points clés attendus

• Lever la forme indéterminée $+\infty-\infty$ en $+\infty$ par factorisation et croissances comparées.

• Étudier le signe de $h'(x)=\mathrm{e}^{x}-1$ avec la stricte croissance de l'exponentielle, et donner le minimum $h(0)=1$.

• Pour la question 3 de la partie A, utiliser la stricte croissance de $h$ sur $[0\,;\,+\infty[$ (donc $a$ et $b$ positifs).

• Écrire $u_n=h\left(\dfrac1n\right)-1$ pour démontrer l'égalité, puis utiliser $0<\dfrac1{n+1}<\dfrac1n$ pour le sens de variation.

• Lire le tableau en s'appuyant sur la décroissance de la suite pour conclure sur tous les rangs suivants.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.