Bac 2022, Métropole : exercice 3

Le repère $\left(\mathrm{A}\,;\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)$ est orthonormé, car ABCDEFGH est un cube : les trois vecteurs ont même longueur (l'arête, prise pour unité) et sont deux à deux orthogonaux. On peut donc utiliser les formules du produit scalaire et de la distance en coordonnées.

Question 1.

Dans ce repère, A est l'origine, B$(1\,;0\,;0)$, D$(0\,;1\,;0)$ et E$(0\,;0\,;1)$.

Les autres sommets du cube se déduisent par translation :

On obtient donc $\mathrm{E}(0\,;0\,;1)$, $\mathrm{F}(1\,;0\,;1)$, $\mathrm{G}(1\,;1\,;1)$ et $\mathrm{C}(1\,;1\,;0)$.

Le point K est le milieu de $[\mathrm{BC}]$, avec $\mathrm{B}(1\,;0\,;0)$ et $\mathrm{C}(1\,;1\,;0)$. Donc

Donc $\mathrm{E}(0\,;0\,;1)$, $\mathrm{F}(1\,;0\,;1)$, $\mathrm{G}(1\,;1\,;1)$ et $\mathrm{K}\left(1\,;\dfrac12\,;0\right)$.

Question 2.

On calcule les coordonnées de deux vecteurs du plan (EGK), coordonnée par coordonnée :

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : la troisième coordonnée de $\overrightarrow{\mathrm{EG}}$ est nulle alors que celle de $\overrightarrow{\mathrm{EK}}$ ne l'est pas, donc aucun réel $k$ ne vérifie $\overrightarrow{\mathrm{EK}}=k\,\overrightarrow{\mathrm{EG}}$. Les points E, G, K ne sont donc pas alignés et définissent bien un plan.

On calcule les produits scalaires avec $\vec n\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ :

Le vecteur $\vec n$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (EGK).

Donc $\vec n$ est orthogonal au plan (EGK), c'est-à-dire normal à ce plan.

Question 3.

D'après la question 2, le vecteur $\vec n\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan (EGK). Donc ce plan admet une équation cartésienne de la forme

Le point E$(0\,;0\,;1)$ appartient au plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

Une équation cartésienne de (EGK) est donc $2x-2y+z-1=0$.

Vérification avec les deux autres points :

• pour G$(1\,;1\,;1)$ : $2-2+1-1=0$

• pour K$\left(1\,;\dfrac12\,;0\right)$ : $2-1+0-1=0$.

Donc le plan (EGK) a pour équation cartésienne $2x-2y+z-1=0$.

Question 4.

La droite $(d)$ est orthogonale au plan (EGK), donc le vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

La droite $(d)$ passe par F$(1\,;0\,;1)$. Un point $\mathrm{M}(x\,;y\,;z)$ appartient à $(d)$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{FM}}=t\,\vec n$.

Une représentation paramétrique de $(d)$ est donc

Réponse : $(d)$ : $\begin{cases}x=1+2t\\y=-2t\\z=1+t\end{cases}$, $t\in\mathbb{R}$.

Question 5.

Le projeté orthogonal L de F sur le plan (EGK) est le point d'intersection de la droite $(d)$, perpendiculaire au plan et passant par F, avec ce plan.

Ses coordonnées vérifient à la fois la représentation paramétrique de $(d)$ et l'équation du plan. On remplace donc $x$, $y$, $z$ dans $2x-2y+z-1=0$ :

On reporte cette valeur dans la représentation paramétrique :

Donc le projeté orthogonal de F sur le plan (EGK) est $\mathrm{L}\left(\dfrac59\,;\dfrac49\,;\dfrac79\right)$.

Question 6.

On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{FL}}$ :

Ce vecteur vaut $-\dfrac29\,\vec n$. Le repère étant orthonormé,

Donc la longueur $\mathrm{LF}$ est égale à $\dfrac23$. C'est la distance du point F au plan (EGK).

Question 7.

Aire du triangle EFG.

On a $\overrightarrow{\mathrm{FE}}\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\mathrm{FG}}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$. Donc

Le triangle EFG est rectangle en F, avec $\mathrm{FE}=\mathrm{FG}=1$. Son aire est

Volume du tétraèdre EFGK.

On prend EFG pour base. Le plan (EFG) a pour équation $z=1$, car E, F et G ont tous pour cote $1$.

La hauteur relative à cette base est la distance de K à ce plan. Comme K a pour cote $0$, cette distance est $|0-1|=1$.

D'après la formule du volume d'un tétraèdre,

Donc l'aire du triangle EFG est $\dfrac12$ et le volume du tétraèdre EFGK est $\dfrac16$.

Question 8.

On calcule à nouveau le volume du tétraèdre EFGK, en prenant maintenant le triangle EGK pour base.

La hauteur relative à cette base est la distance de F au plan (EGK), c'est-à-dire $\mathrm{LF}=\dfrac23$ d'après la question 6.

La formule du volume donne

On en déduit

Donc l'aire du triangle EGK est $\dfrac34$.

Réponse : $\mathcal{A}_{\mathrm{EGK}}=\dfrac34$.

Question 9.

Les points P, M et N sont les milieux respectifs de $[\mathrm{EG}]$, $[\mathrm{EK}]$ et $[\mathrm{GK}]$. Le triangle PMN est donc le triangle des milieux du triangle EGK.

D'après le théorème des milieux, chaque côté du triangle PMN est parallèle à un côté de EGK et a pour longueur la moitié de celle de ce côté. Le triangle PMN est ainsi l'image de EGK par une homothétie de rapport $\dfrac12$.

Les aires sont multipliées par le carré du rapport, donc

Les points P, M et N appartiennent au plan (EGK). La hauteur du tétraèdre FPMN relative à la base PMN est donc la distance de F au plan (EGK), c'est-à-dire $\mathrm{LF}=\dfrac23$.

D'après la formule du volume,

Donc le volume du tétraèdre FPMN est $\dfrac1{24}$.

Réponse : $V_{\mathrm{FPMN}}=\dfrac1{24}$.

Points clés attendus

• Préciser que le repère est orthonormé (cube) avant d'utiliser produit scalaire et distances.

• Montrer l'orthogonalité de $\vec n$ au plan avec deux vecteurs non colinéaires du plan, en justifiant la non-colinéarité.

• Déterminer l'équation cartésienne à partir du vecteur normal puis d'un point, et la vérifier avec les autres points du plan.

• Obtenir le projeté orthogonal comme intersection de la droite $(d)$ et du plan, en résolvant l'équation en $t$.

• Calculer le volume avec deux bases différentes, puis en déduire l'aire de EGK   pour FPMN, utiliser le rapport $\dfrac12$ (aire multipliée par $\dfrac14$) et la même hauteur $\mathrm{LF}$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.