Bac 2022, Groupe I : exercice 1

On note $F$ l'évènement « la personne choisie est une femme » et $C$ l'évènement « la personne choisie exerce une profession de cadre ».

Question 1.

Traduisons les données de l'énoncé en probabilités :

• $P(F)=0{,}48$ et $P(\overline{F})=0{,}52$

• $P_F(C)=0{,}165$, donc $P_F(\overline{C})=1-0{,}165=0{,}835$

• $P_{\overline{F}}(C)=0{,}215$, donc $P_{\overline{F}}(\overline{C})=1-0{,}215=0{,}785$.

L'arbre pondéré comporte deux branches issues de la racine : $F$ de poids $0{,}48$ et $\overline{F}$ de poids $0{,}52$.

De la branche $F$ partent deux branches : $C$ de poids $0{,}165$ et $\overline{C}$ de poids $0{,}835$.

De la branche $\overline{F}$ partent deux branches : $C$ de poids $0{,}215$ et $\overline{C}$ de poids $0{,}785$.

Question 2.

D'après la formule des probabilités composées (définition de la probabilité conditionnelle) :

On obtient :

Donc la probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre est $0{,}0792$.

Réponse : $P(F\cap C)=0{,}0792$.

Question 3.

a) Les évènements $F$ et $\overline{F}$ forment une partition de l'univers : ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers entier, et ils sont de probabilités non nulles.

D'après la formule des probabilités totales :

On a $P(F\cap C)=0{,}0792$ d'après la question 2, et

Donc

Ainsi la probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à $0{,}191$.

b) Deux évènements $F$ et $C$ sont indépendants si et seulement si $P(F\cap C)=P(F)\times P(C)$.

D'une part, $P(F\cap C)=0{,}0792$.

D'autre part,

Ces deux nombres sont différents : $0{,}0792\neq 0{,}09168$.

Donc les évènements $F$ et $C$ ne sont pas indépendants.

Question 4.

Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(C)\neq 0$) :

Arrondie à $10^{-4}$ près :

Interprétation : sachant que la personne choisie est un cadre, la probabilité que ce soit une femme est d'environ $0{,}4147$. Autrement dit, environ $41{,}47\,\%$ des cadres de l'entreprise sont des femmes.

Réponse : $P_C(F)=\dfrac{0{,}0792}{0{,}191}\approx 0{,}4147$.

Question 5.

a) Le choix d'un salarié est une épreuve de Bernoulli de succès « le salarié choisi est un cadre », de probabilité $p=0{,}191$.

On répète cette épreuve $15$ fois. Le tirage étant assimilé à un tirage avec remise, ces $15$ épreuves sont identiques et indépendantes.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès au cours de ces $15$ épreuves.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0{,}191$.

b) L'évènement « l'échantillon contient au plus un cadre » est $\{X\leqslant 1\}$.

On a :

À la calculatrice, arrondie à $10^{-4}$ près :

Donc la probabilité que l'échantillon contienne au plus un cadre est environ $0{,}1890$.

Réponse : $P(X\leqslant 1)\approx 0{,}1890$.

c) L'espérance d'une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ est $E(X)=np$.

Ici :

Donc, en moyenne, un échantillon de $15$ salariés contient $2{,}865$ cadres.

Réponse : $E(X)=2{,}865$.

Question 6.

Soit $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de cadres dans un échantillon de $n$ salariés. Comme à la question 5, $X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}191$.

On a :

On cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que $P(X_n\geqslant 1)\geqslant 0{,}99$.

On résout :

La deuxième équivalence vient de la stricte croissance de la fonction $\ln$ sur $]0\,;+\infty[$.

Or $0<0{,}809<1$, donc $\ln(0{,}809)<0$. En divisant par ce nombre négatif, on change le sens de l'inégalité :

Le plus petit entier $n$ vérifiant cette condition est donc $n=22$.

Vérification : $1-0{,}809^{21}\approx 0{,}9883<0{,}99$ et $1-0{,}809^{22}\approx 0{,}9906\geqslant 0{,}99$.

Donc il faut un échantillon d'au moins $22$ salariés pour que la probabilité qu'il contienne au moins un cadre soit supérieure ou égale à $0{,}99$.

Réponse : $n_{\min}=22$.

Points clés attendus

• Traduire les pourcentages de l'énoncé en probabilités conditionnelles et compléter l'arbre avec les évènements contraires.

• Citer la formule des probabilités totales en précisant que $F$ et $\overline{F}$ forment une partition de l'univers.

• Tester l'indépendance en comparant $P(F\cap C)$ et $P(F)\times P(C)$.

• Justifier la loi binomiale : $15$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise), puis donner $n$ et $p$.

• Résoudre l'inéquation avec $\ln$ en changeant le sens de l'inégalité car $\ln(0{,}809)<0$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.