Bac 2022, Groupe I : exercice 3

Question 1. Réponse b.

La fonction $g$ est une fonction polynôme, donc elle est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

Pour tout réel $x$, on a

Puis

L'exposant $998$ est un entier pair, donc $x^{998}\geqslant 0$ pour tout réel $x$, avec $x^{998}=0$ si et seulement si $x=0$.

Donc $g''(x)\geqslant 0$ pour tout réel $x$.

Une fonction dont la dérivée seconde est positive sur $\mathbb{R}$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Un point d'inflexion exige que $g''$ s'annule en changeant de signe. Or $g''$ ne change jamais de signe (elle est nulle en $0$ et strictement positive ailleurs), donc la courbe de $g$ n'a aucun point d'inflexion.

Les propositions a (concave), c (un point d'inflexion) et d (deux points d'inflexion) sont donc fausses.

Donc la fonction $g$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Réponse : b.

Question 2. Réponse a.

La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour coefficient directeur $f'(0)$.

La courbe $\Gamma$ est la représentation graphique de $f'$. Par lecture graphique, elle passe par le point de coordonnées $(0\,;1)$.

Donc $f'(0)=1$.

La tangente $T$ a donc pour coefficient directeur $1$.

Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

La droite d'équation $y=x$ a pour coefficient directeur $1$.

Les droites d'équations $y=0$ et $y=1$ ont pour coefficient directeur $0$, et la droite d'équation $x=0$ est verticale : elles ne sont pas parallèles à $T$.

Donc la tangente $T$ est parallèle à la droite d'équation $y=x$.

Réponse : a.

Question 3. Réponse c.

Pour tout entier naturel $n$, on a $|(-1)^n|=1$, donc

Comme $n\geqslant 0$, on a $n+1\geqslant 1$, donc $0<\dfrac{1}{n+1}\leqslant 1$.

On en déduit

La suite $\left(u_n\right)$ est donc majorée par $1$ et minorée par $-1$ : elle est bornée.

Les propositions a, b et d affirment que la suite est non minorée ou non majorée : elles sont fausses.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ est bornée.

Réponse : c.

Question 4. Réponse c.

Pour tout entier $n$, on a $v_n\times v_{n+1}<0$. Donc $v_n$ et $v_{n+1}$ sont non nuls et de signes contraires.

Ainsi, le signe de $v_{n+1}$ est l'opposé du signe de $v_n$, pour tout entier $n$.

Le signe change donc à chaque rang : en partant de $v_0=k$, on obtient

Pour $n=10$, l'entier $10$ est pair, donc $(-1)^{10}=1$.

Le terme $v_{10}$ a donc le même signe que $v_0=k$.

Les propositions a et b sont fausses en général : si $k>0$, alors $v_{10}>0$, et si $k<0$, alors $v_{10}<0$. La proposition d est fausse pour la même raison.

Donc $v_{10}$ est du signe de $k$.

Réponse : c.

Question 5. Réponse b.

On a $w_{n+1}=2w_n-4$ pour tout entier naturel $n$, et $w_2=8$.

Avec $n=1$ : $w_2=2w_1-4$, donc $8=2w_1-4$, soit $2w_1=12$, donc $w_1=6$.

Avec $n=0$ : $w_1=2w_0-4$, donc $6=2w_0-4$, soit $2w_0=10$, donc $w_0=5$.

Donc $w_0=5$.

Réponse : b.

Question 6. Réponse b.

Montrons d'abord que $a_n>0$ pour tout entier naturel $n$.

Initialisation. $a_0=1>0$.

Hérédité. Soit $k$ fixé tel que $a_k>0$ (hypothèse de récurrence). On a $a_{k+1}=\dfrac{\mathrm{e}^k}{\mathrm{e}^k+1}\,a_k$. Le facteur $\dfrac{\mathrm{e}^k}{\mathrm{e}^k+1}$ est strictement positif, car l'exponentielle est strictement positive. Le produit de deux réels strictement positifs est strictement positif, donc $a_{k+1}>0$.

Conclusion. D'après le principe de récurrence, $a_n>0$ pour tout entier naturel $n$.

Comme $a_n>0$, on peut former le quotient

Or $\mathrm{e}^n<\mathrm{e}^n+1$ et $\mathrm{e}^n+1>0$, donc

Ainsi $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1$ avec $a_n>0$, c'est-à-dire $a_{n+1}<a_n$ pour tout entier naturel $n$.

Donc la suite $\left(a_n\right)$ est strictement décroissante.

Réponse : b.

Question 7. Réponse c.

Notons $T$ le temps de génération, en minutes. Après $m$ générations, une cellule initiale a donné $2^m$ cellules.

Le temps écoulé est $4$ heures, soit $240$ minutes, donc le nombre de générations est $m=\dfrac{240}{T}$.

On a donc $2^{m}\approx 4000$.

On applique la fonction $\ln$, strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ :

On en déduit

On peut aussi confirmer en testant les propositions. Avec $T=20$ minutes, on a $12$ générations et $2^{12}=4096\approx 4000$ cellules.

Avec $T=12$ minutes, on aurait $20$ générations et $2^{20}=1\,048\,576$ cellules. Avec $T=1$ heure, on aurait $4$ générations et $2^{4}=16$ cellules. Avec moins d'une minute, on aurait plus de $240$ générations, donc un nombre de cellules bien supérieur à $4000$.

Donc le temps de génération est environ égal à $20$ minutes.

Réponse : c.

Points clés attendus

• Question 1 : calculer $g''$ et étudier son signe (exposant pair), puis relier convexité et signe de $g''$   un point d'inflexion exige un changement de signe de $g''$.

• Question 2 : le coefficient directeur de la tangente est $f'(0)$, lu sur la courbe de $f'$ et non sur celle de $f$.

• Question 4 : traduire $v_n\,v_{n+1}<0$ par une alternance de signe, et conclure avec la parité de l'indice.

• Question 6 : justifier que $a_n>0$ avant de comparer le quotient $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ à $1$.

• Question 7 : modéliser par $2^m$ cellules après $m$ générations et résoudre avec le logarithme (ou tester les quatre propositions).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.