Bac 2022, Amérique du Nord : exercice 1

Question 1.

L'énoncé donne les probabilités conditionnelles suivantes :

Les évènements $A_2$ et $B_2$ sont contraires, donc :

L'arbre complété est le suivant :

• de la racine vers $A_1$ : $0{,}5$, et vers $B_1$ : $0{,}5$

• de $A_1$ vers $A_2$ : $0{,}84$, et de $A_1$ vers $B_2$ : $0{,}16$

• de $B_1$ vers $A_2$ : $0{,}24$, et de $B_1$ vers $B_2$ : $0{,}76$.

Question 2. a)

Les évènements $A_1$ et $B_1$ forment une partition de l'univers : le vélo est, le premier matin, soit au point A, soit au point B, et pas aux deux.

D'après la formule des probabilités totales,

On remplace par les valeurs de l'arbre :

Donc la probabilité que le vélo se trouve au point A le deuxième matin est $0{,}54$.

Réponse : $a_2=0{,}54$.

b)

On cherche la probabilité de $B_1$ sachant $A_2$, avec $P(A_2)=0{,}54\neq 0$.

Par définition de la probabilité conditionnelle,

On a $P(B_1\cap A_2)=P(B_1)\times P_{B_1}(A_2)=0{,}5\times 0{,}24=0{,}12$.

Donc

Donc, sachant que le vélo se trouve au point A le deuxième matin, la probabilité qu'il se soit trouvé au point B le premier matin est environ $0{,}222$ (arrondie au millième).

Réponse : $P_{A_2}(B_1)=\dfrac29\approx 0{,}222$.

Question 3. a)

Les données de l'énoncé sont valables pour tout matin : $P_{A_n}(A_{n+1})=0{,}84$ et $P_{B_n}(B_{n+1})=0{,}76$.

Par évènements contraires : $P_{A_n}(B_{n+1})=0{,}16$ et $P_{B_n}(A_{n+1})=0{,}24$.

L'arbre complété est le suivant :

• de la racine vers $A_n$ : $a_n$, et vers $B_n$ : $b_n$

• de $A_n$ vers $A_{n+1}$ : $0{,}84$, et de $A_n$ vers $B_{n+1}$ : $0{,}16$

• de $B_n$ vers $A_{n+1}$ : $0{,}24$, et de $B_n$ vers $B_{n+1}$ : $0{,}76$.

b)

Les évènements $A_n$ et $B_n$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales,

Comme $A_n$ et $B_n$ sont contraires, $b_n=1-a_n$. Donc

Donc, pour tout entier naturel non nul $n$, $a_{n+1}=0{,}6\,a_n+0{,}24$.

Question 4.

Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $P(n)$ la propriété $a_n=0{,}6-0{,}1\times 0{,}6^{n-1}$.

Initialisation. Pour $n=1$ : $0{,}6-0{,}1\times 0{,}6^{0}=0{,}6-0{,}1=0{,}5$, et $a_1=0{,}5$. Donc $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\geqslant 1$ fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $a_k=0{,}6-0{,}1\times 0{,}6^{k-1}$ (hypothèse de récurrence).

Montrons $P(k+1)$.

D'après la question 3.b, $a_{k+1}=0{,}6\,a_k+0{,}24$.

On remplace $a_k$ par son expression :

C'est bien $P(k+1)$ : $a_{k+1}=0{,}6-0{,}1\times 0{,}6^{(k+1)-1}$.

Conclusion. $P(1)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier $n\geqslant 1$,

Question 5.

On a $-1<0{,}6<1$, donc

Par produit et somme de limites,

Interprétation : au bout d'un grand nombre de matins, la probabilité qu'un vélo se trouve au point A se rapproche de $0{,}6$. Autrement dit, à long terme, environ $60\,\%$ des vélos se trouvent au point A à l'ouverture.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=0{,}6$.

Question 6.

On résout l'inéquation $a_n\geqslant 0{,}599$ pour $n\geqslant 1$ :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc

Comme $\ln(0{,}6)<0$ (car $0{,}6<1$), diviser par $\ln(0{,}6)$ change le sens de l'inégalité :

Comme $n-1$ est un entier, on obtient $n-1\geqslant 10$, soit $n\geqslant 11$.

Vérification : $a_{10}=0{,}6-0{,}1\times 0{,}6^{9}\approx 0{,}59899<0{,}599$ et $a_{11}=0{,}6-0{,}1\times 0{,}6^{10}\approx 0{,}59940\geqslant 0{,}599$.

Donc le plus petit entier $n$ tel que $a_n\geqslant 0{,}599$ est $n=11$.

Interprétation : à partir du onzième matin, la probabilité qu'un vélo se trouve au point A est supérieure ou égale à $0{,}599$, donc très proche de sa limite $0{,}6$ : environ $60\,\%$ des vélos sont alors au point A.

Réponse : $n=11$.

Points clés attendus

• Traduire les données en probabilités conditionnelles et utiliser les évènements contraires pour compléter l'arbre.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{A_n,B_n\}$, et utiliser $b_n=1-a_n$ pour obtenir la relation de récurrence.

• Calculer $P_{A_2}(B_1)$ par la définition de la probabilité conditionnelle (numérateur $P(B_1\cap A_2)$).

• Rédiger la récurrence complète : initialisation en $n=1$, hérédité avec hypothèse énoncée, conclusion.

• Justifier la limite par $-1<0{,}6<1$, et résoudre l'inéquation avec $\ln$ en changeant le sens de l'inégalité car $\ln(0{,}6)<0$.

• Interpréter la limite et le rang trouvé dans le contexte des vélos.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.