Bac 2022, Amérique du Nord : exercice 1

Question 1. a) Traduisons les données de l'énoncé en probabilités.

Paul prend son vélo deux fois sur trois, sinon sa voiture. Donc

Lorsqu'il prend son vélo, il rate son train une fois sur $50$ :

Lorsqu'il prend sa voiture, il rate son train une fois sur $10$ :

L'arbre pondéré comporte donc deux branches issues du départ : $V$ (pondérée par $\dfrac23$) et $\overline{V}$ (pondérée par $\dfrac13$). De $V$ partent deux branches $R$ (pondérée par $\dfrac1{50}$) et $\overline{R}$ (pondérée par $\dfrac{49}{50}$). De $\overline{V}$ partent deux branches $R$ (pondérée par $\dfrac1{10}$) et $\overline{R}$ (pondérée par $\dfrac9{10}$).

Question 1. b) Les évènements $V$ et $\overline{V}$ sont incompatibles et leur réunion est l'univers : ils forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales,

Chaque terme se calcule avec la formule des probabilités conditionnelles :

Donc la probabilité que Paul rate son train est égale à $\dfrac7{150}$.

Question 1. c) On cherche la probabilité que Paul ait pris son vélo sachant qu'il a raté son train, c'est-à-dire $P_R(V)$.

D'après la définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(R)\neq 0$),

On a $P(R\cap V)=P(V)\times P_V(R)=\dfrac23\times\dfrac1{50}=\dfrac2{150}$. Donc

Donc, sachant que Paul a raté son train, la probabilité qu'il ait pris son vélo est $\dfrac27$.

Réponse : $P_R(V)=\dfrac27$.

Question 2. a) Justifions que $X$ suit une loi binomiale.

On répète $20$ fois la même épreuve de Bernoulli : « Paul prend son vélo », de probabilité de succès $p=\dfrac23$. Ces $20$ épreuves sont identiques et, d'après l'énoncé, indépendantes les unes des autres. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=\dfrac23$, notée $\mathcal{B}\left(20\,;\dfrac23\right)$.

Question 2. b) Pour une loi binomiale, $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. Donc

À la calculatrice, avec $\binom{20}{10}=184\,756$, on obtient $P(X=10)\approx 0{,}054$ (arrondi au millième).

Donc la probabilité que Paul prenne son vélo exactement $10$ jours sur $20$ est environ $0{,}054$.

Réponse : $P(X=10)\approx 0{,}054$.

Question 2. c) On cherche

À la calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale), on obtient $P(X\geqslant 10)\approx 0{,}962$ (arrondi au millième).

Donc la probabilité que Paul prenne son vélo au moins $10$ jours sur $20$ est environ $0{,}962$.

Réponse : $P(X\geqslant 10)\approx 0{,}962$.

Question 2. d) Le nombre moyen de jours de vélo est l'espérance de $X$. Pour une loi binomiale,

Arrondi à l'entier, on obtient $13$.

Donc, en moyenne, Paul prend son vélo $13$ jours sur $20$.

Réponse : $E(X)=\dfrac{40}{3}$, soit environ $13$ jours.

Question 3. L'espérance de $T$ est $E(T)=\sum k\times P(T=k)$ :

Les probabilités du tableau ont pour somme $1$, ce qui est cohérent avec une loi de probabilité.

Interprétation : lorsque Paul se rend à la gare en voiture, la durée du trajet est en moyenne de $13{,}5$ minutes sur un grand nombre de trajets.

Réponse : $E(T)=13{,}5$ minutes.

Points clés attendus

• Citer la formule des probabilités totales en précisant la partition $\{V\,;\overline{V}\}$.

• Utiliser la définition de la probabilité conditionnelle pour la probabilité « à l'envers » $P_R(V)$.

• Justifier la loi binomiale : $20$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec $n=20$ et $p=\dfrac23$.

• Donner les valeurs approchées demandées au millième et l'espérance arrondie à l'entier.

• Interpréter l'espérance de $T$ en contexte (durée moyenne du trajet en voiture).

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