Bac 2022, Groupe I : exercice 4

Partie A

Question 1.

On cherche la limite de $f(x)=\mathrm{e}^{-x}+\ln x$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures.

On a $\lim\limits_{x\to 0}(-x)=0$ et $\lim\limits_{X\to 0}\mathrm{e}^{X}=1$. Par limite d'une composée,

D'autre part,

Par somme des limites,

Donc la limite de $f$ en $0$ est $-\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=-\infty$.

Question 2.

On admet que $f$ est dérivable sur $]0\,;1]$.

La fonction $x\mapsto\mathrm{e}^{-x}$ est de la forme $\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=-x$, donc sa dérivée est $u'\,\mathrm{e}^{u}$, soit $-\mathrm{e}^{-x}$.

La dérivée de $x\mapsto\ln x$ est $x\mapsto\dfrac1x$.

Donc, pour tout $x\in\,]0\,;1]$,

On met au même dénominateur $x$, qui est non nul :

Donc, pour tout réel $x$ de $]0\,;1]$, $f'(x)=\dfrac{1-x\,\mathrm{e}^{-x}}{x}$.

Question 3.

Soit $x\in\,]0\,;1]$.

On a $-x<0$ et la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc $\mathrm{e}^{-x}<\mathrm{e}^{0}=1$. De plus $\mathrm{e}^{-x}>0$.

Comme $0<x\leqslant 1$ et $\mathrm{e}^{-x}>0$, on obtient en multipliant par $\mathrm{e}^{-x}$ :

Or $\mathrm{e}^{-x}<1$, donc

Donc, pour tout $x\in\,]0\,;1]$, $x\,\mathrm{e}^{-x}<1$.

On en déduit le signe de $f'$ :

• le numérateur $1-x\,\mathrm{e}^{-x}$ est strictement positif

• le dénominateur $x$ est strictement positif.

Donc $f'(x)>0$ pour tout $x\in\,]0\,;1]$.

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0\,;1]$.

Ses limites et valeurs aux bornes sont : $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=-\infty$ (question 1) et

Tableau de variations décrit en phrases : $f$ est strictement croissante sur $]0\,;1]$, elle part de $-\infty$ en $0$ et atteint la valeur $\mathrm{e}^{-1}$ en $1$.

Réponse : $f$ est strictement croissante sur $]0\,;1]$, de limite $-\infty$ en $0$, avec $f(1)=\mathrm{e}^{-1}$.

Question 4.

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;1]$, donc continue sur cet intervalle.

Elle est strictement croissante sur $]0\,;1]$ (question 3).

Son image est l'intervalle $\left]-\infty\,;\mathrm{e}^{-1}\right]$, puisque $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=-\infty$ et $f(1)=\mathrm{e}^{-1}$.

Or $0\in\left]-\infty\,;\mathrm{e}^{-1}\right]$, car $\mathrm{e}^{-1}>0$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, dans sa version pour les fonctions continues et strictement monotones (théorème de la bijection), l'équation $f(x)=0$ admet une solution dans $]0\,;1]$, et cette solution est unique.

Donc il existe un unique réel $\ell\in\,]0\,;1]$ tel que $f(\ell)=0$.

Partie B

Question 1. a)

On a $a_0=\dfrac{1}{10}$ et $b_0=1$.

Donc $a_1\approx 0{,}37$ et $b_1\approx 0{,}90$ à $10^{-2}$ près.

Réponse : $a_1=\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}37$ et $b_1=\mathrm{e}^{-0{,}1}\approx 0{,}90$.

b)

À chaque passage dans la boucle, on doit calculer $a_{n+1}=\mathrm{e}^{-b_n}$ et $b_{n+1}=\mathrm{e}^{-a_n}$ à partir de $a_n$ et $b_n$.

La variable c sert à mémoriser le nouveau $a$ : elle permet de calculer le nouveau $b$ avec l'ancienne valeur de a, avant d'écraser a par c.

On suppose la fonction exp disponible (par exemple avec from math import exp).

def termes(n):
    a = 1/10
    b = 1
    for k in range(0, n):
        c = exp(-b)
        b = exp(-a)
        a = c
    return (a, b)

Réponse : c = exp(-b) puis b = exp(-a).

Question 2. a)

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété

Initialisation. On a $a_0=0{,}1$, $a_1=\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}37$, $b_1=\mathrm{e}^{-0{,}1}\approx 0{,}90$ et $b_0=1$.

Donc $0<0{,}1\leqslant 0{,}37\leqslant 0{,}90\leqslant 1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons $P(k+1)$.

La fonction $x\mapsto\mathrm{e}^{-x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ : elle inverse l'ordre des inégalités. On l'applique à chaque membre de l'hypothèse de récurrence en renversant le sens des inégalités :

D'après les définitions des suites, on a

On obtient donc

Comme $0<\mathrm{e}^{-1}$, on en déduit

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

b)

D'après la question précédente, pour tout $n$, $a_n\leqslant a_{n+1}$ : la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.

De plus, $a_n\leqslant b_n\leqslant 1$ donc $a_n\leqslant 1$ : la suite $\left(a_n\right)$ est majorée par $1$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $\left(a_n\right)$ converge.

De même, pour tout $n$, $b_{n+1}\leqslant b_n$ : la suite $\left(b_n\right)$ est décroissante.

De plus, $b_n\geqslant a_n>0$ : la suite $\left(b_n\right)$ est minorée par $0$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $\left(b_n\right)$ converge.

Donc les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ sont convergentes.

Question 3. a)

On admet que $A=\mathrm{e}^{-B}$ et $B=\mathrm{e}^{-A}$, avec $A$ et $B$ dans $]0\,;1]$.

De $A=\mathrm{e}^{-B}$ et $A>0$, on déduit en appliquant $\ln$ :

De $B=\mathrm{e}^{-A}$, on a $\mathrm{e}^{-A}=B$.

Donc

Donc $f(A)=0$.

b)

De même, $B=\mathrm{e}^{-A}$ et $B>0$ donnent $\ln B=-A$, et $\mathrm{e}^{-B}=A$.

Donc

Les réels $A$ et $B$ appartiennent à $]0\,;1]$ et vérifient tous deux $f(x)=0$.

D'après la question A.4, l'équation $f(x)=0$ admet une seule solution $\ell$ dans $]0\,;1]$.

Donc $A=\ell$ et $B=\ell$, d'où $A=B$.

Donc $A-B=0$.

Réponse : $A-B=0$.

Points clés attendus

• Partie A : limite de $f$ en $0$ par somme, justification de $x\,\mathrm{e}^{-x}<1$ sur $]0\,;1]$, puis signe de $f'$ et théorème de la bijection (continuité, stricte monotonie, valeurs aux bornes) pour l'unicité de $\ell$.

• Question B.1.b : utiliser la variable c pour ne pas perdre l'ancienne valeur de a.

• Récurrence : énoncer la propriété avec les cinq inégalités, et citer la décroissance de $x\mapsto\mathrm{e}^{-x}$ qui renverse le sens des inégalités.

• Convergence : citer le théorème de la limite monotone en précisant, pour chaque suite, sa monotonie et son majorant ou minorant.

• Question B.3 : se servir des relations $A=\mathrm{e}^{-B}$ et $B=\mathrm{e}^{-A}$ avec $\ln$, puis de l'unicité de la solution de $f(x)=0$ pour conclure $A=B$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.