Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2022, Groupe I : exercice 4

18 mai 2022 · 6 points

Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace

Principaux domaines abordés : Géométrie dans l'espace

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ .

On considère les points A $(5\;;\;0\;;\;-1)$ , B $(1\;;\;4\;;\;-1)$ , C(1   0   3), D(5   4   3) et E(10   9   8).

1. Soit R le milieu du segment [AB].
  
  Calculer les coordonnées du point R ainsi que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ .
2. Soit $\mathcal{P}_1$ le plan passant par le point R et dont $\overrightarrow{\text{AB}}$ est un vecteur normal. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_1$ est:
  
  $x - y - 1 = 0.$
3. Démontrer que le point E appartient au plan $\mathcal{P}_1$ et que EA = EB .
On considère le plan $\mathcal{P}_2$ d'équation cartésienne $x - z - 2 = 0$ .
1. Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.
2. On note $\Delta$ la droite d'intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ .
  
  Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
  
  $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&2+t\\ y&=&1+t \\ z&=&t\end{array}\right.(t \in \mathbb{R}).$
On considère le plan $\mathcal{P}_3$ d'équation cartésienne $y + z - 3 = 0$ .

Justifier que la droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathcal{P}_3$ en un point $\Omega$ dont on déterminera les coordonnées.

Si S et T sont deux points distincts de l'espace, on rappelle que l'ensemble des points M de l'espace tels que MS = MT est un plan, appelé plan médiateur du segment [ST]. On admet que les plans $\mathcal{P}_1$ ,  $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont les plans médiateurs respectifs des segments [AB], [AC] et [AD].

1. Justifier que $\Omega \text{A} = \Omega \text{B} = \Omega \text{C} = \Omega \text{D}$ .
2. En déduire que les points A, B, C et D appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon.

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Question 1. a) Calcul du point R et du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ .

R est le milieu de $[\mathrm{AB}]$ , donc ses coordonnées sont les moyennes de celles de A et de B :

R\left(\dfrac{5+1}{2}\,;\dfrac{0+4}{2}\,;\dfrac{-1+(-1)}{2}\right)=R(3\,;2\,;-1).

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ sont obtenues par différence :

\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}1-5\\4-0\\-1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}.

Donc $R(3\,;2\,;-1)$ et $\overrightarrow{\mathrm{AB}}(-4\,;4\,;0)$ .

Réponse : $R(3\,;2\,;-1)$ et $\overrightarrow{\mathrm{AB}}(-4\,;4\,;0)$ .

Question 1. b) Le plan $\mathcal{P}_1$ passe par R et admet $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ pour vecteur normal. Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $\mathcal{P}_1$ si et seulement si $\overrightarrow{\mathrm{RM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$ .

On a $\overrightarrow{\mathrm{RM}}\begin{pmatrix}x-3\\y-2\\z+1\end{pmatrix}$ . Donc

\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{RM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0&\iff -4(x-3)+4(y-2)+0\times(z+1)=0\\ &\iff -4x+12+4y-8=0\\ &\iff -4x+4y+4=0\\ &\iff x-y-1=0\qquad(\text{en divisant par }-4). \end{aligned}

Donc une équation cartésienne de $\mathcal{P}_1$ est $x-y-1=0$ .

Vérification : pour R, $3-2-1=0$ .

Question 1. c) Montrons que $\mathrm{E}\in\mathcal{P}_1$ .

Les coordonnées de $\mathrm{E}(10\,;9\,;8)$ vérifient $10-9-1=0$ . Donc E appartient à $\mathcal{P}_1$ .

Montrons que $\mathrm{EA}=\mathrm{EB}$ . On calcule les carrés des distances, le repère étant orthonormé :

\begin{aligned} \mathrm{EA}^2&=(5-10)^2+(0-9)^2+(-1-8)^2=25+81+81=187,\\ \mathrm{EB}^2&=(1-10)^2+(4-9)^2+(-1-8)^2=81+25+81=187. \end{aligned}

Les distances étant positives, $\mathrm{EA}=\mathrm{EB}=\sqrt{187}$ .

Donc E appartient à $\mathcal{P}_1$ et $\mathrm{EA}=\mathrm{EB}$ .

Question 2. a) Des vecteurs normaux à $\mathcal{P}_1$ et à $\mathcal{P}_2$ se lisent sur leurs équations cartésiennes : $\vec{n_1}(1\,;-1\,;0)$ et $\vec{n_2}(1\,;0\,;-1)$ .

Montrons que ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Supposons qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{n_2}=k\,\vec{n_1}$ . La première coordonnée donne $1=k\times 1$ , donc $k=1$ . La deuxième coordonnée donnerait alors $0=k\times(-1)=-1$ , ce qui est absurde.

Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, donc les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles.

Donc les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants (leur intersection est une droite).

Question 2. b) Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $\Delta$ si et seulement si ses coordonnées vérifient le système

\left\{\begin{array}{l}x-y-1=0\\x-z-2=0\end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\z=x-2\end{array}\right.

On prend $x$ comme paramètre et on pose $x=2+t$ avec $t\in\mathbb{R}$ . Alors

y=2+t-1=1+t\qquad\text{et}\qquad z=2+t-2=t.

Réciproquement, tout point de coordonnées $(2+t\,;1+t\,;t)$ vérifie les deux équations : $(2+t)-(1+t)-1=0$ et $(2+t)-t-2=0$ .

Donc une représentation paramétrique de $\Delta$ est

\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{array}\right.\quad(t\in\mathbb{R}).

Question 3. Un vecteur directeur de $\Delta$ se lit sur la représentation paramétrique : $\vec{d}(1\,;1\,;1)$ . Un vecteur normal à $\mathcal{P}_3$ se lit sur son équation : $\vec{n_3}(0\,;1\,;1)$ .

On calcule le produit scalaire :

\vec{d}\cdot\vec{n_3}=1\times 0+1\times 1+1\times 1=2\neq 0.

Le vecteur directeur de $\Delta$ n'est pas orthogonal à $\vec{n_3}$ , donc $\Delta$ n'est pas parallèle à $\mathcal{P}_3$ . La droite $\Delta$ est donc sécante au plan $\mathcal{P}_3$ en un unique point $\Omega$ .

Déterminons les coordonnées de $\Omega$ . Le point $\Omega$ correspond à une valeur de $t$ telle que le point de $\Delta$ vérifie l'équation de $\mathcal{P}_3$ :

\begin{aligned} y+z-3=0&\iff (1+t)+t-3=0\\ &\iff 2t-2=0\\ &\iff t=1. \end{aligned}

En remplaçant $t$ par $1$ dans la représentation paramétrique : $x=3$ , $y=2$ , $z=1$ .

Donc $\Delta$ coupe $\mathcal{P}_3$ au point $\Omega(3\,;2\,;1)$ .

Vérification : $3-2-1=0$ , $3-1-2=0$ et $2+1-3=0$ .

Réponse : $\Omega(3\,;2\,;1)$ .

Question 4. a) Le point $\Omega$ appartient à $\Delta$ , intersection de $\mathcal{P}_1$ et de $\mathcal{P}_2$ , et à $\mathcal{P}_3$ . Il appartient donc aux trois plans.

$\Omega\in\mathcal{P}_1$ , plan médiateur de $[\mathrm{AB}]$ : donc $\Omega\mathrm{A}=\Omega\mathrm{B}$ .
$\Omega\in\mathcal{P}_2$ , plan médiateur de $[\mathrm{AC}]$ : donc $\Omega\mathrm{A}=\Omega\mathrm{C}$ .
$\Omega\in\mathcal{P}_3$ , plan médiateur de $[\mathrm{AD}]$ : donc $\Omega\mathrm{A}=\Omega\mathrm{D}$ .

Donc $\Omega\mathrm{A}=\Omega\mathrm{B}=\Omega\mathrm{C}=\Omega\mathrm{D}$ .

Question 4. b) D'après la question précédente, les points A, B, C et D sont à la même distance de $\Omega$ . Ils appartiennent donc à la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $\Omega\mathrm{A}$ .

On calcule ce rayon :

\Omega\mathrm{A}=\sqrt{(5-3)^2+(0-2)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.

Donc les points A, B, C et D appartiennent à la sphère de centre $\Omega(3\,;2\,;1)$ et de rayon $2\sqrt{3}$ .

Réponse : sphère de centre $\Omega(3\,;2\,;1)$ et de rayon $2\sqrt{3}$ .

Points clés attendus

Justifier l'équation cartésienne de $\mathcal{P}_1$ à partir de $\overrightarrow{\mathrm{RM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$ et vérifier que R la satisfait.
Prouver que deux plans sont sécants par la non-colinéarité de leurs vecteurs normaux.
Résoudre le système pour obtenir la représentation paramétrique de $\Delta$ et conclure sur l'intersection avec $\mathcal{P}_3$ par un produit scalaire non nul.
Utiliser la propriété du plan médiateur (admise) pour obtenir $\Omega\mathrm{A}=\Omega\mathrm{B}=\Omega\mathrm{C}=\Omega\mathrm{D}$ , puis calculer le rayon.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2022 (Groupe I, 18 mai 2022), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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