Bac 2022, Groupe I : exercice 3

Partie A

Question 1. a) Limite de $f$ en $-\infty$.

On a

Or $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$. Par limite d'une composée,

De plus

Par somme des limites,

Donc la limite de $f$ en $-\infty$ est $-\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.

Question 1. b) Soit $x$ un réel non nul. On développe le membre de droite.

On a utilisé $\mathrm{e}^{a}\times\mathrm{e}^{b}=\mathrm{e}^{a+b}$. L'égalité demandée est donc démontrée pour tout réel $x$ non nul.

Déduisons-en la limite de $f$ en $+\infty$.

On pose $X=0{,}5x$. Quand $x$ tend vers $+\infty$, $X$ tend vers $+\infty$. Par croissances comparées,

Comme $\mathrm{e}^{-2}>0$, on obtient par produit

Donc, par différence avec la constante $2$,

Par ailleurs $\lim\limits_{x\to+\infty}0{,}5x=+\infty$. Par produit des limites, puis par somme avec $1$,

Donc la limite de $f$ en $+\infty$ est $-\infty$. La forme indéterminée $+\infty-\infty$ de l'écriture initiale a été levée par la factorisation de $0{,}5x$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

Question 2. a) La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (admis par l'énoncé).

La dérivée de $x\mapsto\mathrm{e}^{u(x)}$ est $u'\,\mathrm{e}^{u}$. Ici $u(x)=0{,}5x-2$ et $u'(x)=0{,}5$. Donc, pour tout réel $x$,

Donc $f'(x)=1-0{,}5\,\mathrm{e}^{0{,}5x-2}$.

Réponse : $f'(x)=1-0{,}5\,\mathrm{e}^{0{,}5x-2}$.

Question 2. b) Résolvons l'inéquation $f'(x)<0$.

La troisième équivalence vient de la stricte croissance de la fonction $\ln$ sur $]0\,;+\infty[$ : pour $a>0$ et $b>0$, $a>b\iff\ln(a)>\ln(b)$. On l'applique avec $a=\mathrm{e}^{0{,}5x-2}>0$ et $b=2$, en utilisant $\ln\left(\mathrm{e}^{0{,}5x-2}\right)=0{,}5x-2$.

Donc l'ensemble des solutions de $f'(x)<0$ est l'intervalle $]4+2\ln(2)\,;+\infty[$.

Question 3. Tableau de variations de $f$.

D'après la question 2. b), $f'(x)<0$ sur $]4+2\ln(2)\,;+\infty[$.

De plus $f'(4+2\ln(2))=0$ : en effet $0{,}5(4+2\ln 2)-2=\ln 2$ et $1-0{,}5\,\mathrm{e}^{\ln 2}=1-0{,}5\times 2=0$.

Donc $f'(x)>0$ sur $]-\infty\,;4+2\ln(2)[$.

Par conséquent :

• $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;4+2\ln(2)]$, de la limite $-\infty$ en $-\infty$ jusqu'au maximum

• $f$ est strictement décroissante sur $[4+2\ln(2)\,;+\infty[$, de ce maximum jusqu'à la limite $-\infty$ en $+\infty$.

Calculons le maximum. Comme $0{,}5\left(4+2\ln(2)\right)-2=\ln(2)$ et $\mathrm{e}^{\ln(2)}=2$,

La valeur approchée est $3+2\ln(2)\approx 4{,}39$.

Donc le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $3+2\ln(2)$, atteint en $x=4+2\ln(2)$.

Réponse : maximum $f\left(4+2\ln(2)\right)=3+2\ln(2)\approx 4{,}39$.

Question 4. Montrons que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[-1\,;0]$.

On vérifie les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires (version pour une fonction strictement monotone) sur l'intervalle $[-1\,;0]$.

• La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc continue sur $[-1\,;0]$.

• Comme $0<4+2\ln(2)$, l'intervalle $[-1\,;0]$ est contenu dans $]-\infty\,;4+2\ln(2)]$ où $f$ est strictement croissante. Donc $f$ est strictement croissante sur $[-1\,;0]$.

• On calcule les images des bornes :

  $$f(-1)=1-1-\mathrm{e}^{-2{,}5}=-\mathrm{e}^{-2{,}5}<0,\qquad f(0)=1-\mathrm{e}^{-2}>0$$
  car $\mathrm{e}^{-2}<1$.

Ainsi $0\in\left[f(-1)\,;f(0)\right]$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[-1\,;0]$. Comme $f$ est strictement monotone sur cet intervalle, cette solution est unique.

Donc l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[-1\,;0]$.

Partie B

Question 1. a) Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 4$.

Initialisation. On a $u_0=0$ et $u_1=f(0)=1-\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}86$. Donc $0\leqslant u_1\leqslant 4$, c'est-à-dire $u_0\leqslant u_1\leqslant 4$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant 4$.

D'après la partie A, la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty\,;4+2\ln(2)]$. Les nombres $u_k$, $u_{k+1}$ et $4$ sont tous inférieurs ou égaux à $4$, et $4<4+2\ln(2)$ : ils appartiennent donc à cet intervalle.

On applique $f$ à chaque membre de l'hypothèse de récurrence, en conservant le sens des inégalités puisque $f$ est croissante sur cet intervalle :

Par définition de la suite, $f(u_k)=u_{k+1}$ et $f(u_{k+1})=u_{k+2}$. De plus

On obtient donc

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

Question 1. b) D'après la question précédente, pour tout $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante. Toujours d'après la question précédente, $u_{n+1}\leqslant 4$ pour tout $n$, et $u_0=0\leqslant 4$ : la suite est majorée par $4$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.

Donc la suite $(u_n)$ est convergente. De plus, comme elle est croissante et majorée par $4$, sa limite vérifie $\ell\leqslant 4$.

Question 2. a) On utilise la relation $\ell=f(\ell)$ rappelée par l'énoncé :

Donc $\ell=4$.

Réponse : $\ell=4$.

Question 2. b) La fonction valeur(a) calcule les termes successifs de la suite $(u_n)$ à partir de $u_0=0$, et s'arrête dès que $u>a$. Elle renvoie la valeur de $n$ obtenue à cet instant, c'est-à-dire le plus petit entier $n$ tel que $u_n>a$.

Donc valeur(3.99) $=12$ signifie que $u_{11}\leqslant 3{,}99$ et $u_{12}>3{,}99$. Comme la suite est croissante, on a $u_n>3{,}99$ pour tout $n\geqslant 12$.

Comme $\ell=4$ et $u_n\leqslant 4$, cela signifie que $12$ est le rang à partir duquel tous les termes de la suite sont à une distance de la limite $4$ strictement inférieure à $0{,}01$.

Points clés attendus

• Lever la forme indéterminée en $+\infty$ avec la factorisation proposée et les croissances comparées.

• Citer le théorème des valeurs intermédiaires avec ses trois hypothèses (continuité, stricte monotonie, signes opposés aux bornes) pour conclure à l'unicité.

• Dans l'hérédité, justifier que $u_k$, $u_{k+1}$ et $4$ sont dans l'intervalle où $f$ est croissante, et calculer $f(4)=4$.

• Nommer le théorème de la limite monotone (suite croissante et majorée) pour la convergence.

• Résoudre $\ell=f(\ell)$ pour obtenir $\ell=4$, puis interpréter le résultat de valeur(3.99) comme un rang de seuil.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.