Bac 2022, Groupe I : exercice 2

Question 1. Réponse c.

Chaque heure, le volume d'eau diminue de $15\,\%$ : il est donc multiplié par $1-0{,}15=0{,}85$. Le volume (en litres) au bout de $n$ heures est le terme de rang $n$ de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $0{,}85$ :

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $v_n<0{,}25$.

La raison $0{,}85$ est comprise entre $0$ et $1$, donc la suite $(v_n)$ est strictement décroissante. Il suffit donc de repérer le premier rang pour lequel la valeur passe sous $0{,}25$.

À la calculatrice :

Par ailleurs, $0{,}85^{n}<0{,}25\iff n\ln(0{,}85)<\ln(0{,}25)\iff n>\dfrac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}85)}\approx 8{,}53$ (on divise par $\ln(0{,}85)<0$, ce qui change le sens de l'inégalité).

Le plus petit entier convenable est donc $n=9$. Les propositions a. ($2$ heures) et b. ($8$ heures) donnent un volume supérieur à $0{,}25$ litre, et la proposition d. ($13$ heures) n'est pas le plus petit entier.

Donc le volume d'eau devient inférieur à un quart de litre au bout de $9$ heures.

Question 2. Réponse b.

Pour tout $x>0$, on a $2x>0$, donc $f(2x)$ est défini et

Élimination des autres propositions, en prenant $x=1$ : $f(2)-f(1)=4\ln(6)-4\ln(3)=4\ln(2)=\ln(16)$. Or $\ln(16)\neq\ln(24)$ et $\ln(16)\neq\ln(2)$, donc a. et c. sont fausses. Enfin $2f(1)=8\ln(3)\approx 8{,}79$ alors que $f(2)=4\ln(6)\approx 7{,}17$, donc d. est fausse.

Donc, pour tout $x>0$, $f(2x)=f(x)+\ln(16)$.

Question 3. Réponse c.

La fonction $g$ est définie sur $]1\,;+\infty[$.

Comportement en $1$. Pour $x>1$,

C'est le taux d'accroissement de la fonction $\ln$ entre $1$ et $x$. La fonction $\ln$ est dérivable en $1$ et $\ln'(1)=\dfrac11=1$, donc La limite en $1$ est finie : la courbe $\mathcal{C}_g$ n'admet pas d'asymptote verticale d'équation $x=1$. Comme $g$ est définie sur $]1\,;+\infty[$, il n'y a pas d'autre valeur interdite à examiner.

Comportement en $+\infty$. Pour $x>1$,

D'après le théorème des croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$. De plus $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{1-\frac1x}=1$. Par produit,

Donc la courbe $\mathcal{C}_g$ admet la droite d'équation $y=0$ comme asymptote horizontale en $+\infty$ et n'admet aucune asymptote verticale.

Question 4. Réponse b.

On a $h'(x)=4x(1+\ln(x))$ sur $]0\,;2]$.

Signe de $h'$ sur $\left]\dfrac1{\mathrm{e}}\,;2\right]$. Le facteur $4x$ est strictement positif. Par ailleurs, la fonction $\ln$ est strictement croissante et $\ln\left(\dfrac1{\mathrm{e}}\right)=-1$, donc

Donc $h'(x)>0$ pour tout $x\in\left]\dfrac1{\mathrm{e}}\,;2\right]$.

La fonction $h$ est dérivable, donc continue, et strictement croissante sur $\left[\dfrac1{\mathrm{e}}\,;2\right]$.

Signes aux bornes. On a

Théorème des valeurs intermédiaires. La fonction $h$ est continue et strictement croissante sur $\left[\dfrac1{\mathrm{e}}\,;2\right]$, et $0$ est strictement compris entre $h\left(\dfrac1{\mathrm{e}}\right)<0$ et $h(2)>0$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution dans $\left]\dfrac1{\mathrm{e}}\,;2\right[$.

Vérification directe. Pour $x>0$ on a $x^2>0$, donc $h(x)=0\iff 1+2\ln(x)=0\iff x=\mathrm{e}^{-1/2}\approx 0{,}61$, et $\dfrac1{\mathrm{e}}\approx 0{,}37<\mathrm{e}^{-1/2}<2$.

Donc la fonction $h$ s'annule exactement une fois sur $\left]\dfrac1{\mathrm{e}}\,;2\right]$.

Question 5. Réponse d.

Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_h$ au point d'abscisse $a=\sqrt{\mathrm{e}}$ est

On a $\ln(\sqrt{\mathrm{e}})=\dfrac12\ln(\mathrm{e})=\dfrac12$ et $a^2=\mathrm{e}$. Donc

On obtient

Élimination : les propositions a. et b. ont une ordonnée à l'origine différente de $-4\mathrm{e}$ ($0$ et $2\mathrm{e}$), et la proposition c. n'est pas l'équation d'une droite.

Donc une équation de la tangente est $y=6\mathrm{e}^{\frac12}x-4\mathrm{e}$.

Question 6. Réponse b.

La fonction $h'$ s'écrit $h'(x)=4x+4x\ln(x)$ sur $]0\,;2]$. Elle est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables. On utilise la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=4x$ et $v(x)=\ln(x)$ :

Signe de $h''$. On a

Le nombre $\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}135$ appartient à $]0\,;2]$. Donc $h''(x)<0$ sur $]0\,;\mathrm{e}^{-2}[$, $h''(\mathrm{e}^{-2})=0$ et $h''(x)>0$ sur $]\mathrm{e}^{-2}\,;2]$.

Comme $h''$ s'annule en changeant de signe en $\mathrm{e}^{-2}$ (la fonction $h$ passe de concave à convexe), et seulement en cette valeur, la courbe $\mathcal{C}_h$ admet un unique point d'inflexion.

Donc le nombre de points d'inflexion de $\mathcal{C}_h$ sur $]0\,;2]$ est égal à $1$.

Question 7. Réponse d.

On a $u_0=6$ et $u_1=\dfrac12\times 6+3=6$. Donc $u_1=u_0$.

Montrons par récurrence que $u_n=6$ pour tout entier naturel $n$.

Initialisation. $u_0=6$ : la propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité. Soit $k$ fixé tel que $u_k=6$ (hypothèse de récurrence). Alors

La propriété est vraie au rang $k+1$.

Conclusion. D'après le principe de récurrence, $u_n=6$ pour tout entier naturel $n$.

Élimination : une suite constante n'est ni strictement croissante, ni strictement décroissante, et elle est monotone. Les propositions a., b. et c. sont donc fausses.

Donc la suite $(u_n)$ est constante.

Points clés attendus

• Question 1 : modéliser une baisse de $15\,\%$ par un coefficient multiplicateur de $0{,}85$, puis résoudre l'inéquation par comparaison de valeurs ou avec le logarithme (en changeant le sens de l'inégalité quand on divise par $\ln(0{,}85)<0$).

• Questions 2 et 3 : utiliser les propriétés algébriques du logarithme   citer le nombre dérivé de $\ln$ en $1$ et le théorème des croissances comparées pour justifier les limites.

• Question 4 : vérifier les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires (continuité, stricte monotonie, signes opposés aux bornes) pour conclure à l'unicité.

• Questions 5 et 6 : appliquer la formule de la tangente $y=h'(a)(x-a)+h(a)$, et montrer que $h''$ change de signe pour affirmer l'existence d'un point d'inflexion.

• Question 7 : ne pas conclure sur le sens de variation sans calcul : le premier terme est un point fixe, donc la suite est constante.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.