Bac 2022, Asie : exercice 3

Question 1. Placement des points sur la figure de l'annexe.

Le point P$(0\,;0\,;1)$ a ses deux premières coordonnées nulles : il est sur l'arête $[\mathrm{AE}]$, au tiers de A vers E (car $\mathrm{AE}=3$).

Le point Q$(0\,;2\,;3)$ est dans le plan $(\mathrm{ADHE})$ (abscisse nulle) à la hauteur $3$ : il est donc sur l'arête $[\mathrm{EH}]$, aux deux tiers de E vers H (car $\mathrm{EH}=3$).

Le point R$(1\,;0\,;3)$ est dans le plan $(\mathrm{ABFE})$ (ordonnée nulle) à la hauteur $3$ : il est donc sur l'arête $[\mathrm{EF}]$, au tiers de E vers F (car $\mathrm{EF}=3$).

Question 2. Le repère est orthonormé : on peut calculer les distances à l'aide des coordonnées.

On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{RP}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$ :

On en déduit

Donc $\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}=\sqrt5$.

Le triangle PQR a deux côtés issus de R de même longueur : il est isocèle en R.

Question 3. On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$ :

Supposons qu'il existe un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\lambda\,\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$.

La première coordonnée donne $1=\lambda\times 0=0$, ce qui est impossible.

Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$ ne sont donc pas colinéaires (et $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\neq\vec 0$).

Donc les points P, Q et R ne sont pas alignés : ils définissent un plan.

Question 4. a) Le vecteur $\vec u$ a pour coordonnées $(2\,;1\,;-1)$. On calcule les produits scalaires dans le repère orthonormé :

Le vecteur $\vec u$ est orthogonal à $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ et à $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$, qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan (PQR) (question 3).

Un vecteur orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires d'un plan est orthogonal à ce plan.

Donc $\vec u$ est un vecteur normal au plan (PQR).

Question 4. b) Le vecteur $\vec u(2\,;1\,;-1)$ est normal au plan (PQR). Donc ce plan admet une équation cartésienne de la forme

Le point P$(0\,;0\,;1)$ appartient au plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

Une équation cartésienne du plan (PQR) est donc

Vérification avec les deux autres points : pour Q, $0+2-3+1=0$   pour R, $2+0-3+1=0$.

Réponse : $2x+y-z+1=0$.

Question 4. c) La droite $(d)$ est orthogonale au plan (PQR) : le vecteur normal $\vec u(2\,;1\,;-1)$ est un vecteur directeur de $(d)$.

La droite $(d)$ passe par E$(0\,;0\,;3)$.

Un point M$(x\,;y\,;z)$ appartient à $(d)$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{EM}}=t\,\vec u$, c'est-à-dire

Réponse : une représentation paramétrique de $(d)$ est $\begin{cases}x=2t\\ y=t\\ z=3-t\end{cases}$, $t\in\mathbb{R}$.

Question 4. d) Montrons que L appartient à $(d)$.

Pour $t=\dfrac13$, la représentation paramétrique donne

Ce sont les coordonnées de L : donc L appartient à $(d)$.

Montrons que L appartient au plan (PQR).

Les coordonnées de L vérifient l'équation de (PQR) : donc L appartient à (PQR).

La droite $(d)$ passe par E et est perpendiculaire à (PQR). Elle coupe le plan en un unique point, car elle n'est pas parallèle au plan (son vecteur directeur est normal au plan). Ce point est le projeté orthogonal de E sur (PQR).

Or L appartient à la fois à $(d)$ et à (PQR).

Donc L est le projeté orthogonal du point E sur le plan (PQR).

Question 4. e) La distance du point E au plan (PQR) est la distance EL, où L est le projeté orthogonal de E sur ce plan.

On a

Donc, le repère étant orthonormé,

La distance entre le point E et le plan (PQR) est $\dfrac{\sqrt6}{3}$.

Réponse : $\dfrac{\sqrt6}{3}$.

Question 5. On choisit le triangle EQR comme base du tétraèdre EPQR.

Les coordonnées des vecteurs sont

On a $\overrightarrow{\mathrm{EQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ER}}=0\times1+2\times0+0\times0=0$ : le triangle EQR est rectangle en E.

De plus $\mathrm{EQ}=2$ et $\mathrm{ER}=1$. Son aire est donc

Les points E, Q et R ont pour cote $3$ : le plan (EQR) a pour équation $z=3$.

La hauteur du tétraèdre issue de P est la distance de P au plan (EQR) :

D'après la formule du volume d'un tétraèdre,

Donc le volume du tétraèdre EPQR est $\dfrac23$.

Question 6. Le même tétraèdre EPQR peut être vu avec le triangle PQR pour base. La hauteur correspondante est la distance de E au plan (PQR), soit $\dfrac{\sqrt6}{3}$ d'après la question 4. e).

Notons $\mathcal{A}$ l'aire du triangle PQR. On a, par la formule du volume et la question 5 :

Donc

L'aire du triangle PQR est $\sqrt6$.

Réponse : $\mathcal{A}_{\mathrm{PQR}}=\sqrt6$.

Points clés attendus

• Calculer les coordonnées des vecteurs, puis les longueurs dans un repère orthonormé.

• Justifier la non-colinéarité de deux vecteurs pour affirmer que trois points définissent un plan.

• Un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d'un plan est normal à ce plan.

• Vérifier que le point L est à la fois sur la droite $(d)$ et dans le plan pour conclure qu'il est le projeté orthogonal.

• Citer la formule du volume d'un tétraèdre et choisir la base la mieux adaptée (EQR rectangle en E).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.