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Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2022, Asie : exercice 1

18 mai 2022 · 7 points

Principaux domaines abordés: Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l'espace. Orthogonalité et distances dans l'espace. Représentations paramétriques et équations cartésiennes.

Dans un repère orthonormé (O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right) de l'espace, on considère les points

A(−3  ;  1  ;  3),B(2  ;  2  ;  3), C(1  ;  7  ;  −1), D(−4  ;  6  ;  −1) et K(−3  ;  14  ;  14).\text{A}(-3\;;\;1\;;\;3), \text{B}(2\;;\;2\;;\;3),\, \text{C}(1\;;\;7\;;\;-1), \,\text{D}(-4\;;\;6\;;\;-1)\, \text{et K}(-3\;;\;14\;;\;14).

    1. Calculer les coordonnées des vecteurs AB→, DC→\overrightarrow{\text{AB}},\, \overrightarrow{\text{DC}} et AD→\overrightarrow{\text{AD}}.

    2. Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.

    3. Calculer l'aire du rectangle ABCD.

    1. Justifier que les points A, B et D définissent un plan.

    2. Montrer que le vecteur n→(−2  ;  10  ;  13)\overrightarrow{n}(-2\;;\;10\;;\;13) est un vecteur normal au plan (ABD).

    3. En déduire une équation cartésienne du plan (ABD).

    1. Donner une représentation paramétrique de la droite Δ\Delta orthogonale au plan (ABD) et qui passe par le point K.

    2. Déterminer les coordonnées du point I, projeté orthogonal du point K sur le plan (ABD).

    3. Montrer que la hauteur de la pyramide KABCD de base ABCD et de sommet K vaut 273\sqrt{273}.

  4. Calculer le volume VV de la pyramide KABCD.

    On rappelle que le volume VV d'une pyramide est donné par la formule:

    V=13×aire de la base×hauteur.V= \dfrac13 \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}.

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Question 1. a) On calcule les coordonnées des vecteurs en soustrayant les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité.

AB→(2−(−3) ;2−1 ;3−3)=(5 ;1 ;0)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(2-(-3)\,;2-1\,;3-3\right)=\left(5\,;1\,;0\right)
DC→(1−(−4) ;7−6 ;−1−(−1))=(5 ;1 ;0)\overrightarrow{\mathrm{DC}}\left(1-(-4)\,;7-6\,;-1-(-1)\right)=\left(5\,;1\,;0\right)
AD→(−4−(−3) ;6−1 ;−1−3)=(−1 ;5 ;−4)\overrightarrow{\mathrm{AD}}\left(-4-(-3)\,;6-1\,;-1-3\right)=\left(-1\,;5\,;-4\right)

Réponse : AB→(5 ;1 ;0)\overrightarrow{\mathrm{AB}}(5\,;1\,;0), DC→(5 ;1 ;0)\overrightarrow{\mathrm{DC}}(5\,;1\,;0), AD→(−1 ;5 ;−4)\overrightarrow{\mathrm{AD}}(-1\,;5\,;-4).

Question 1. b) On a AB→=DC→\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}, donc ABCD est un parallélogramme.

Le repère est orthonormé : on calcule le produit scalaire avec les coordonnées.

AB→⋅AD→=5×(−1)+1×5+0×(−4)=−5+5+0=0.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}=5\times(-1)+1\times5+0\times(-4)=-5+5+0=0.

Les vecteurs AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} sont non nuls et orthogonaux : le parallélogramme ABCD a un angle droit en A.

Un parallélogramme ayant un angle droit est un rectangle.

Donc ABCD est un rectangle.

Question 1. c) Les dimensions du rectangle sont

AB=52+12+02=26etAD=(−1)2+52+(−4)2=42.\mathrm{AB}=\sqrt{5^2+1^2+0^2}=\sqrt{26}\qquad\text{et}\qquad\mathrm{AD}=\sqrt{(-1)^2+5^2+(-4)^2}=\sqrt{42}.

L'aire d'un rectangle est le produit de ses dimensions :

AABCD=AB×AD=26×42=1092=4×273=2273.\mathcal{A}_{\mathrm{ABCD}}=\mathrm{AB}\times\mathrm{AD}=\sqrt{26\times42}=\sqrt{1092}=\sqrt{4\times273}=2\sqrt{273}.

Donc l'aire du rectangle ABCD est 22732\sqrt{273} (unités d'aire).

Réponse : 22732\sqrt{273}.

Question 2. a) On a AB→(5 ;1 ;0)\overrightarrow{\mathrm{AB}}(5\,;1\,;0) et AD→(−1 ;5 ;−4)\overrightarrow{\mathrm{AD}}(-1\,;5\,;-4).

Supposons qu'il existe un réel λ\lambda tel que AD→=λ AB→\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\lambda\,\overrightarrow{\mathrm{AB}}. La troisième coordonnée donne −4=λ×0=0-4=\lambda\times0=0, ce qui est impossible.

Les vecteurs AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} ne sont donc pas colinéaires (et AB→≠0⃗\overrightarrow{\mathrm{AB}}\neq\vec0).

Donc les points A, B et D ne sont pas alignés : ils définissent un plan.

Question 2. b) On calcule les produits scalaires de n⃗(−2 ;10 ;13)\vec n(-2\,;10\,;13) avec deux vecteurs directeurs du plan (ABD) :

n⃗⋅AB→=−2×5+10×1+13×0=−10+10+0=0\vec n\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-2\times5+10\times1+13\times0=-10+10+0=0
n⃗⋅AD→=−2×(−1)+10×5+13×(−4)=2+50−52=0.\vec n\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}=-2\times(-1)+10\times5+13\times(-4)=2+50-52=0.

Le vecteur n⃗\vec n est orthogonal à AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} et à AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}}, qui sont non colinéaires (question 2. a)).

Donc n⃗\vec n est un vecteur normal au plan (ABD).

Question 2. c) Le vecteur n⃗(−2 ;10 ;13)\vec n(-2\,;10\,;13) est normal à (ABD), donc ce plan admet une équation cartésienne de la forme

−2x+10y+13z+d=0(d∈R).-2x+10y+13z+d=0\qquad(d\in\mathbb{R}).

Le point A(−3 ;1 ;3)(-3\,;1\,;3) appartient au plan :

−2×(−3)+10×1+13×3+d=0⟺6+10+39+d=0⟺d=−55.-2\times(-3)+10\times1+13\times3+d=0\Longleftrightarrow6+10+39+d=0\Longleftrightarrow d=-55.

Une équation cartésienne de (ABD) est donc

−2x+10y+13z−55=0.-2x+10y+13z-55=0.

Vérification avec B : −4+20+39−55=0-4+20+39-55=0. Vérification avec D : 8+60−13−55=08+60-13-55=0.

Réponse : −2x+10y+13z−55=0-2x+10y+13z-55=0.

Question 3. a) La droite Δ\Delta est orthogonale au plan (ABD) : le vecteur normal n⃗(−2 ;10 ;13)\vec n(-2\,;10\,;13) est un vecteur directeur de Δ\Delta.

La droite Δ\Delta passe par K(−3 ;14 ;14)(-3\,;14\,;14). Une représentation paramétrique de Δ\Delta est donc

{x=−3−2ty=14+10tz=14+13t(t∈R).\begin{cases}x=-3-2t\\ y=14+10t\\ z=14+13t\end{cases}\qquad(t\in\mathbb{R}).

Question 3. b) Le projeté orthogonal I de K sur (ABD) est le point d'intersection de la droite Δ\Delta (perpendiculaire à (ABD) passant par K) et du plan (ABD).

Les coordonnées de I vérifient la représentation paramétrique de Δ\Delta pour une valeur de tt, et l'équation du plan :

−2(−3−2t)+10(14+10t)+13(14+13t)−55=06+4t+140+100t+182+169t−55=0273t+273=0t=−1.\begin{aligned} -2(-3-2t)+10(14+10t)+13(14+13t)-55&=0\\ 6+4t+140+100t+182+169t-55&=0\\ 273t+273&=0\\ t&=-1. \end{aligned}

On remplace t=−1t=-1 dans la représentation paramétrique :

x=−3+2=−1,y=14−10=4,z=14−13=1.x=-3+2=-1,\qquad y=14-10=4,\qquad z=14-13=1.

Donc I a pour coordonnées (−1 ;4 ;1)(-1\,;4\,;1).

Réponse : I(−1 ;4 ;1)(-1\,;4\,;1).

Question 3. c) La droite (KI) est orthogonale au plan (ABD), donc au plan de la base ABCD : la hauteur de la pyramide KABCD est la distance KI.

On a KI→(−1−(−3) ;4−14 ;1−14)=(2 ;−10 ;−13)\overrightarrow{\mathrm{KI}}\left(-1-(-3)\,;4-14\,;1-14\right)=\left(2\,;-10\,;-13\right), donc

KI=22+(−10)2+(−13)2=4+100+169=273.\mathrm{KI}=\sqrt{2^2+(-10)^2+(-13)^2}=\sqrt{4+100+169}=\sqrt{273}.

Donc la hauteur de la pyramide KABCD vaut 273\sqrt{273}.

Question 4. D'après la formule du volume d'une pyramide, avec l'aire de la base calculée à la question 1. c) et la hauteur de la question 3. c) :

V=13×AABCD×KI=13×2273×273=2×2733=182.V=\dfrac13\times\mathcal{A}_{\mathrm{ABCD}}\times\mathrm{KI}=\dfrac13\times2\sqrt{273}\times\sqrt{273}=\dfrac{2\times273}{3}=182.

Donc le volume de la pyramide KABCD est 182182 (unités de volume).

Réponse : V=182V=182.

Points clés attendus

  • Pour un rectangle : parallélogramme (égalité de vecteurs) et angle droit (produit scalaire nul).

  • Justifier la non-colinéarité avant de parler de plan, puis d'un vecteur normal.

  • Le projeté orthogonal est l'intersection de la droite perpendiculaire au plan et du plan : résoudre en tt puis revenir aux coordonnées.

  • Identifier la hauteur de la pyramide à la distance KI.

  • Citer la formule du volume avec l'aire de la base et la hauteur, et simplifier 273×273=273\sqrt{273}\times\sqrt{273}=273.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2022 (Asie, 18 mai 2022), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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