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Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2022, Centres étrangers : exercice 3

12 mai 2022 · 7 points

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right).

On considère les points

A(3  ;  −2  ;  2),B(6  ;  1  ;  5),C(6  ;  −2  ;  −1)et D(0  ;  4  ;  −1).\text{A}(3\;;\;-2\;;\;2),\quad \text{B}(6\;;\;1\;;\;5),\quad \text{C}(6\;;\;-2\;;\;-1)\quad \text{et D}(0\;;\;4\;;\;-1).

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule :

V=13A×hV = \dfrac13 \mathcal{A} \times h

où A\mathcal{A} est l'aire de la base et hh la hauteur correspondante.

  1. Démontrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

    1. Montrer que le triangle ABC est rectangle.

    2. Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).

    3. En déduire le volume du tétraèdre ABCD.

  3. On considère le point H(5   0   1).

    1. Montrer qu'il existe des réels α\alpha et β\beta tels que BH→=αBC→+βBD→\overrightarrow{\text{BH}} = \alpha \overrightarrow{\text{BC}} + \beta \overrightarrow{\text{BD}}.

    2. Démontrer que H est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).

    3. En déduire la distance du point A au plan (BCD).

  4. Déduire des questions précédentes l'aire du triangle BCD.

Voir le corrigé

Le repère étant orthonormé, on peut utiliser le produit scalaire et les distances en coordonnées.

Question 1.

On calcule les coordonnées des vecteurs issus de A, coordonnée par coordonnée :

AB→(6−31−(−2)5−2)=(333),AC→(6−3−2−(−2)−1−2)=(30−3),AD→(0−34−(−2)−1−2)=(−36−3).\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}6-3\\1-(-2)\\5-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}6-3\\-2-(-2)\\-1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{\mathrm{AD}}\begin{pmatrix}0-3\\4-(-2)\\-1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}.

Les vecteurs AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} ne sont pas colinéaires : la deuxième coordonnée de AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} est nulle alors que celle de AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ne l'est pas, et la première coordonnée de AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} n'est pas nulle. Les points A, B, C définissent donc un plan (ABC).

Les points A, B, C, D sont coplanaires si et seulement si D appartient à ce plan, c'est-à-dire s'il existe deux réels aa et bb tels que AD→=a AB→+b AC→\overrightarrow{\mathrm{AD}}=a\,\overrightarrow{\mathrm{AB}}+b\,\overrightarrow{\mathrm{AC}}.

Cette égalité équivaut au système

{3a+3b=−33a=63a−3b=−3\begin{cases}3a+3b=-3\\3a=6\\3a-3b=-3\end{cases}

La deuxième équation donne a=2a=2. La première équation donne alors 6+3b=−36+3b=-3, donc b=−3b=-3.

On remplace dans la troisième équation : 3×2−3×(−3)=6+9=15≠−33\times2-3\times(-3)=6+9=15\neq-3.

Le système n'a pas de solution. Donc AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} n'est pas combinaison linéaire de AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}}.

Donc les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

Question 2. a)

On calcule le produit scalaire :

AB→⋅AC→=3×3+3×0+3×(−3)=9+0−9=0.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=3\times3+3\times0+3\times(-3)=9+0-9=0.

Les vecteurs AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} sont non nuls et orthogonaux.

Donc le triangle ABC est rectangle en A.

Question 2. b)

On calcule les produits scalaires de AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} avec deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) :

AD→⋅AB→=(−3)×3+6×3+(−3)×3=−9+18−9=0,AD→⋅AC→=(−3)×3+6×0+(−3)×(−3)=−9+0+9=0.\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}&=(-3)\times3+6\times3+(-3)\times3=-9+18-9=0,\\ \overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}&=(-3)\times3+6\times0+(-3)\times(-3)=-9+0+9=0. \end{aligned}

La droite (AD) est orthogonale aux droites (AB) et (AC), qui sont sécantes en A et contenues dans le plan (ABC).

Donc la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).

Question 2. c)

On prend le triangle ABC pour base. Il est rectangle en A, donc son aire est 12×AB×AC\dfrac12\times\mathrm{AB}\times\mathrm{AC}. La droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC) et passe par A, donc la hauteur issue de D est AD\mathrm{AD}.

Le repère étant orthonormé, on calcule les longueurs :

AB=32+32+32=27=33,AC=32+02+(−3)2=18=32,AD=(−3)2+62+(−3)2=54=36.\begin{aligned} \mathrm{AB}&=\sqrt{3^{2}+3^{2}+3^{2}}=\sqrt{27}=3\sqrt3,\\ \mathrm{AC}&=\sqrt{3^{2}+0^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt2,\\ \mathrm{AD}&=\sqrt{(-3)^{2}+6^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{54}=3\sqrt6. \end{aligned}

L'aire de la base est

AABC=12×33×32=962.\mathcal{A}_{\mathrm{ABC}}=\dfrac12\times3\sqrt3\times3\sqrt2=\dfrac{9\sqrt6}{2}.

D'après la formule du volume d'un tétraèdre,

VABCD=13×AABC×AD=13×962×36=9×62=27.V_{\mathrm{ABCD}}=\dfrac13\times\mathcal{A}_{\mathrm{ABC}}\times\mathrm{AD}=\dfrac13\times\dfrac{9\sqrt6}{2}\times3\sqrt6=\dfrac{9\times6}{2}=27.

Donc le volume du tétraèdre ABCD est 2727.

Réponse : VABCD=27V_{\mathrm{ABCD}}=27.

Question 3. a)

On calcule les coordonnées des vecteurs :

BH→(5−60−11−5)=(−1−1−4),BC→(0−3−6),BD→(−63−6).\overrightarrow{\mathrm{BH}}\begin{pmatrix}5-6\\0-1\\1-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{\mathrm{BC}}\begin{pmatrix}0\\-3\\-6\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{\mathrm{BD}}\begin{pmatrix}-6\\3\\-6\end{pmatrix}.

L'égalité BH→=α BC→+β BD→\overrightarrow{\mathrm{BH}}=\alpha\,\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\beta\,\overrightarrow{\mathrm{BD}} équivaut au système

{−6β=−1−3α+3β=−1−6α−6β=−4\begin{cases}-6\beta=-1\\-3\alpha+3\beta=-1\\-6\alpha-6\beta=-4\end{cases}

La première équation donne β=16\beta=\dfrac16.

La deuxième équation donne −3α+12=−1-3\alpha+\dfrac12=-1, donc −3α=−32-3\alpha=-\dfrac32 et α=12\alpha=\dfrac12.

On vérifie la troisième équation : −6×12−6×16=−3−1=−4-6\times\dfrac12-6\times\dfrac16=-3-1=-4. Elle est bien vérifiée.

Donc il existe des réels α=12\alpha=\dfrac12 et β=16\beta=\dfrac16 tels que BH→=12BC→+16BD→\overrightarrow{\mathrm{BH}}=\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\dfrac16\overrightarrow{\mathrm{BD}}.

Question 3. b)

Les vecteurs BC→\overrightarrow{\mathrm{BC}} et BD→\overrightarrow{\mathrm{BD}} ne sont pas colinéaires : la première coordonnée de BC→\overrightarrow{\mathrm{BC}} est nulle alors que celle de BD→\overrightarrow{\mathrm{BD}} ne l'est pas, et la deuxième coordonnée de BC→\overrightarrow{\mathrm{BC}} n'est pas nulle. Donc B, C, D définissent un plan (BCD).

D'après la question 3. a), BH→\overrightarrow{\mathrm{BH}} est combinaison linéaire de BC→\overrightarrow{\mathrm{BC}} et BD→\overrightarrow{\mathrm{BD}} : le point H appartient au plan (BCD).

On a AH→(5−30−(−2)1−2)=(22−1)\overrightarrow{\mathrm{AH}}\begin{pmatrix}5-3\\0-(-2)\\1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}, et

AH→⋅BC→=2×0+2×(−3)+(−1)×(−6)=0−6+6=0,AH→⋅BD→=2×(−6)+2×3+(−1)×(−6)=−12+6+6=0.\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}&=2\times0+2\times(-3)+(-1)\times(-6)=0-6+6=0,\\ \overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BD}}&=2\times(-6)+2\times3+(-1)\times(-6)=-12+6+6=0. \end{aligned}

Le vecteur AH→\overrightarrow{\mathrm{AH}} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD) : la droite (AH) est donc perpendiculaire à ce plan.

Le point H appartient au plan (BCD) et (AH) est perpendiculaire à (BCD).

Donc H est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).

Question 3. c)

La distance du point A au plan (BCD) est la distance de A à son projeté orthogonal H :

AH=22+22+(−1)2=9=3.\mathrm{AH}=\sqrt{2^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{9}=3.

Donc la distance du point A au plan (BCD) est 33.

Réponse : AH=3\mathrm{AH}=3.

Question 4.

On calcule à nouveau le volume du tétraèdre ABCD en prenant le triangle BCD pour base. La hauteur correspondante est la distance de A au plan (BCD), c'est-à-dire AH=3\mathrm{AH}=3.

D'après la formule du volume, et d'après la question 2. c),

VABCD=13×ABCD×AHdonc27=13×ABCD×3=ABCD.V_{\mathrm{ABCD}}=\dfrac13\times\mathcal{A}_{\mathrm{BCD}}\times\mathrm{AH}\quad\text{donc}\quad27=\dfrac13\times\mathcal{A}_{\mathrm{BCD}}\times3=\mathcal{A}_{\mathrm{BCD}}.

Donc l'aire du triangle BCD est 2727.

Réponse : ABCD=27\mathcal{A}_{\mathrm{BCD}}=27.

Points clés attendus

  • Démontrer la non-coplanarité en montrant qu'un vecteur n'est pas combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires, système à l'appui.

  • Justifier qu'une droite est perpendiculaire à un plan par l'orthogonalité à deux vecteurs non colinéaires (ou droites sécantes) du plan.

  • Pour le volume, identifier la base (triangle rectangle) et la hauteur correspondante avant d'appliquer la formule.

  • Pour le projeté orthogonal, vérifier deux conditions : H appartient au plan et AH→\overrightarrow{\mathrm{AH}} est orthogonal au plan.

  • Déduire l'aire de BCD en calculant le même volume avec une autre base.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2022 (Centres étrangers, 12 mai 2022), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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