Bac 2022, Centres étrangers : exercice 1

Question 1.

Réponse c.

Pour tout réel $x$, on écrit $f(x)=x\,\mathrm{e}^{-x}$.

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables. On pose $u(x)=x$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$, avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ (dérivée d'une composée).

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$,

Les propositions a, b et d sont fausses : par exemple en $x=0$, on a $f'(0)=1$, alors que la proposition b donne $0$ et que les propositions a et d donnent $1$   en $x=1$, on a $f'(1)=0$, alors que a donne $\mathrm{e}^{-1}\neq0$ et d donne $2\,\mathrm{e}^{-1}\neq0$.

Donc $f'(x)=(1-x)\,\mathrm{e}^{-x}$.

Question 2.

Réponse d.

D'après la courbe de $f''$ sur $[-3\,;1]$ :

• $f''(x)>0$ pour $x\in[-3\,;-1[$

• $f''(-1)=0$

• $f''(x)<0$ pour $x\in\,]-1\,;1]$.

Or $f''$ est la dérivée de $f'$. Une fonction dont la dérivée est strictement positive est strictement croissante, et une fonction dont la dérivée est strictement négative est strictement décroissante. Donc :

• $f'$ est strictement croissante sur $[-3\,;-1]$

• $f'$ est strictement décroissante sur $[-1\,;1]$.

Donc $f'$ admet un maximum en $x=-1$.

Élimination des autres propositions.

• La proposition a est fausse : $f''<0$ sur $]-1\,;1]$, donc $f$ est concave, et non convexe, sur $[-1\,;1]$.

• La proposition b est fausse : $f''>0$ sur $[-2\,;-1[$, donc $f$ est convexe sur $[-2\,;-1]$ et n'est pas concave sur $[-2\,;0]$.

• La proposition c est fausse : $f'$ est croissante sur $[-2\,;-1]$, donc elle n'est pas décroissante sur $[-2\,;0]$.

Question 3.

Réponse c.

Une primitive $F$ de $f$ vérifie $F'(x)=x^{3}\mathrm{e}^{-x^{2}}$ pour tout réel $x$. On dérive la proposition c.

Pour $F(x)=-\dfrac12\left(x^{2}+1\right)\mathrm{e}^{-x^{2}}$, on pose $u(x)=x^{2}+1$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$, avec $u'(x)=2x$ et $v'(x)=-2x\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$ (dérivée d'une composée). Alors

Les autres propositions ne conviennent pas. En les dérivant de la même façon, on obtient :

• pour a : $F'(x)=\dfrac{x\left(2x^{3}-3x+2\right)}{6}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$

• pour b : $F'(x)=\dfrac{x^{3}\left(x^{2}-2\right)}{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$

• pour d : $F'(x)=2x\left(x^{2}-3\right)\left(2x^{2}-1\right)\mathrm{e}^{-x^{2}}$.

Aucune de ces expressions n'est égale à $x^{3}\mathrm{e}^{-x^{2}}$.

Donc $F(x)=-\dfrac12\left(x^{2}+1\right)\mathrm{e}^{-x^{2}}$ est une primitive de $f$.

Question 4.

Réponse b.

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$ : le numérateur et le dénominateur tendent vers $+\infty$, c'est une forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$.

Pour lever l'indétermination, on factorise par $\mathrm{e}^{x}$ au numérateur et au dénominateur :

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$. Donc le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur tend vers $1\neq0$. Par quotient,

Donc la limite vaut $1$.

Réponse : $1$.

Question 5.

Réponse c.

La fonction $x\longmapsto\mathrm{e}^{2x+1}$ est de la forme $\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=2x+1$ et $u'(x)=2$. Une primitive est donc $x\longmapsto\dfrac12\,\mathrm{e}^{2x+1}$.

Les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions

On impose $F(0)=1$ :

On obtient

Élimination des autres propositions.

• Les propositions a et b ont pour dérivée $4\,\mathrm{e}^{2x+1}\neq f(x)$ : ce ne sont pas des primitives de $f$. (De plus, pour b, $F(0)=\mathrm{e}\neq1$.)

• La proposition d a pour dérivée $(2x+1)\,\mathrm{e}^{x^{2}+x}\neq f(x)$ : ce n'est pas une primitive de $f$, bien que $F(0)=1$.

Donc la seule primitive de $f$ qui vaut $1$ en $0$ est $x\longmapsto\dfrac12\,\mathrm{e}^{2x+1}-\dfrac12\,\mathrm{e}+1$.

Question 6.

Réponse a.

D'après la courbe de $f$ :

• $f$ est concave sur $[-2\,;1]$

• $f$ est convexe sur $[1\,;4]$

• la courbe admet donc un point d'inflexion d'abscisse $1$.

Or $f$ est concave si et seulement si $f''\leqslant0$, et convexe si et seulement si $f''\geqslant0$. Donc la fonction $f''$ est négative sur $[-2\,;1]$, s'annule en $1$ et est positive sur $[1\,;4]$ : elle change de signe en $1$, de $-$ à $+$, et n'a pas d'autre changement de signe sur $[-2\,;4]$.

On examine alors les quatre courbes proposées.

• La courbe a est une droite croissante qui coupe l'axe des abscisses en $1$ : elle est négative avant $1$ et positive après. Elle convient.

• La courbe b est une droite décroissante : le signe est inversé (positive avant $1$, négative après). Elle ne convient pas.

• La courbe c s'annule en $0$ et en $2$ et change de signe deux fois : elle ne convient pas.

• La courbe d est toujours positive ou nulle, sans changement de signe : elle ne convient pas.

Donc la courbe qui représente $f''$ est la courbe a.

Points clés attendus

• Dériver un produit avec $(uv)'=u'v+uv'$ et la dérivée d'une composée, et vérifier une primitive en la dérivant.

• Lever la forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$ par factorisation de $\mathrm{e}^{x}$, puis conclure avec $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$.

• Déterminer la constante d'une primitive avec la condition initiale $F(0)=1$.

• Relier le signe de $f''$ aux variations de $f'$ et à la convexité de $f$ (concave si $f''\leqslant0$, convexe si $f''\geqslant0$, inflexion si $f''$ change de signe).

• Pour chaque QCM, indiquer la lettre puis éliminer les autres propositions par un calcul ou un contre-exemple.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.