Bac 2022, Centres étrangers : exercice 4

Partie A

Question 1. On traduit les données : $P(A)=0{,}1$, $P(B)=0{,}2$ et $P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}75$.

Par évènements contraires :

On complète ensuite le tableau pas à pas :

• $P(\overline{A})=P(\overline{A}\cap B)+P(\overline{A}\cap\overline{B})$, donc $P(\overline{A}\cap B)=0{,}9-0{,}75=0{,}15$

• $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$, donc $P(A\cap B)=0{,}2-0{,}15=0{,}05$

• $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})$, donc $P(A\cap\overline{B})=0{,}1-0{,}05=0{,}05$.

Le tableau est donc :

• ligne $B$ : $P(A\cap B)=0{,}05$   $P(\overline{A}\cap B)=0{,}15$   total $P(B)=0{,}2$

• ligne $\overline{B}$ : $P(A\cap\overline{B})=0{,}05$   $P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}75$   total $P(\overline{B})=0{,}8$

• ligne des totaux : $P(A)=0{,}1$   $P(\overline{A})=0{,}9$   total $1$.

Vérification : $0{,}05+0{,}75=0{,}8=P(\overline{B})$, et $0{,}1+0{,}9=1$.

Question 2. a) L'évènement « la paire présente un défaut pour au moins un des deux traitements » est $A\cup B$. Son contraire est « aucun défaut », c'est-à-dire $\overline{A}\cap\overline{B}$.

Donc

On retrouve ce résultat avec la formule $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}1+0{,}2-0{,}05=0{,}25$.

Donc la probabilité qu'une paire de verres présente au moins un défaut est $0{,}25$.

Question 2. b) La paire présente deux défauts, un pour chaque traitement, lorsque $A\cap B$ est réalisé. D'après le tableau :

Question 2. c) Les évènements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

On calcule $P(A)\times P(B)=0{,}1\times 0{,}2=0{,}02$, et $P(A\cap B)=0{,}05$.

Comme $0{,}02\neq 0{,}05$, les évènements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

Question 3. Présenter un défaut pour un seul des deux traitements, c'est réaliser $A\cap\overline{B}$ ou $\overline{A}\cap B$. Ces évènements sont incompatibles, donc

On le retrouve par $P(A\cup B)-P(A\cap B)=0{,}25-0{,}05=0{,}2$.

Donc la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour un seul des deux traitements est $0{,}2$.

Réponse : $0{,}2$.

Question 4. On cherche $P_A(B)$. Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(A)=0{,}1\neq 0$) :

Donc, sachant qu'une paire de verres présente un défaut pour le traitement T1, la probabilité qu'elle présente un défaut pour le traitement T2 est $0{,}5$.

Réponse : $P_A(B)=0{,}5$.

Partie B

Question 1. On prélève $50$ paires de verres. Le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise, donc :

• on répète $50$ fois la même épreuve, et ces épreuves sont identiques et indépendantes

• chaque épreuve a deux issues : la paire présente un défaut pour T1 (succès), de probabilité $p=P(A)=0{,}1$, ou non

• $X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0{,}1$.

Question 2. D'après la formule de la loi binomiale, la probabilité d'avoir exactement $10$ paires présentant le défaut est

À la calculatrice, $P(X=10)\approx 0{,}015$ (arrondi au millième).

Donc la probabilité d'avoir exactement $10$ paires de verres présentant le défaut pour T1 dans un échantillon de $50$ est d'environ $0{,}015$.

Réponse : $P(X=10)\approx 0{,}015$.

Question 3. Le nombre moyen de paires présentant le défaut est l'espérance de $X$. Pour une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, $E(X)=np$ :

Donc, en moyenne, on trouve $5$ paires de verres présentant ce défaut dans un échantillon de $50$ paires.

Réponse : $E(X)=5$.

Points clés attendus

• Compléter le tableau à partir de $P(\overline{A}\cap\overline{B})$ et des totaux, en vérifiant la cohérence des lignes et colonnes.

• Passer par l'évènement contraire de $A\cup B$ pour « au moins un défaut ».

• Justifier la non-indépendance en comparant $P(A\cap B)$ et $P(A)\times P(B)$.

• Écrire la probabilité conditionnelle $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

• Justifier la loi binomiale (épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, tirage avec remise) et donner l'espérance $np$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.