Bac 2022, Centres étrangers : exercice 1

Question 1. Réponse c.

Pour tout réel $x$, on a $1+x^2\geqslant 1>0$, donc $f(x)=\ln\left(1+x^2\right)$ est bien définie.

On résout l'équation, en utilisant que la fonction exponentielle est la bijection réciproque de $\ln$ :

Comme $\mathrm{e}^{2022}-1>0$, cette équation admet exactement deux solutions : $x=\sqrt{\mathrm{e}^{2022}-1}$ et $x=-\sqrt{\mathrm{e}^{2022}-1}$.

Donc l'équation $f(x)=2022$ admet exactement deux solutions.

Question 2. Réponse c.

La fonction $g$ est deux fois dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$. Pour $x>0$, avec $(x\ln x)'=\ln x+x\times\dfrac1x=\ln x+1$ :

Comme $x>0$, le signe de $g''(x)$ est celui de $1-2x$ :

• $g''(x)>0$ pour $x<\dfrac12$ : $g$ est convexe sur $\left]0\,;\,\dfrac12\right]$

• $g''(x)<0$ pour $x>\dfrac12$ : $g$ est concave sur $\left[\dfrac12\,;\,+\infty\right[$.

La fonction $g$ n'est donc ni convexe ni concave sur $]0\,;\,+\infty[$, ce qui exclut les propositions a et b.

La dérivée seconde $g''$ s'annule en changeant de signe uniquement en $x=\dfrac12$ : la courbe $\mathcal{C}_g$ admet exactement un point d'inflexion, d'abscisse $\dfrac12$. La proposition d est donc fausse.

Question 3. Réponse a.

Sur $]-1\,;\,1[$, on a $1-x^2>0$. La fonction $g(x)=-\dfrac12\ln\left(1-x^2\right)$ est dérivable et, avec $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$ pour $u(x)=1-x^2$ et $u'(x)=-2x$ :

Donc $g$ est une primitive de $f$ sur $]-1\,;\,1[$.

Les autres propositions sont à écarter. Par exemple :

• la proposition b a pour dérivée $\dfrac{2x\left(x^2+3\right)}{\left(1-x^2\right)^3}$, qui vaut environ $7{,}7$ en $x=\dfrac12$, alors que $f\left(\dfrac12\right)=\dfrac23$

• la proposition c n'est pas définie en $x=0$ (dénominateur nul)

• la proposition d a pour dérivée $x\ln\left(1-x^2\right)-\dfrac{x^3}{1-x^2}$, qui vaut environ $-0{,}31$ en $x=\dfrac12$, alors que $f\left(\dfrac12\right)=\dfrac23$.

Question 4. Réponse a.

La fonction $x\longmapsto\ln\left(-x^2-x+6\right)$ est définie si et seulement si

Le discriminant du trinôme est $\Delta=(-1)^2-4\times(-1)\times 6=25$, et ses racines sont

Le coefficient dominant $-1$ est négatif : le trinôme est strictement positif entre ses racines, c'est-à-dire pour $x\in\,]-3\,;\,2[$.

Donc la fonction est définie sur $]-3\,;\,2[$.

Question 5. Réponse a.

La fonction $f$ est dérivable sur $\left]0{,}5\,;\,+\infty\right[$. Avec $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$ pour $u(x)=2x-1$ :

En $x=1$ :

La tangente au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)$, soit

Question 6. Réponse b.

Les deux logarithmes sont définis si et seulement si $x+3>0$ et $x+1>0$, c'est-à-dire $x>-1$.

Pour $x>-1$, on a $2\ln(x+1)=\ln\left((x+1)^2\right)$. La fonction $\ln$ étant strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ :

Le trinôme $(x-1)(x+2)$ est strictement positif pour $x<-2$ ou $x>1$.

Avec la condition $x>-1$, on obtient $x>1$.

Donc $S=]1\,;\,+\infty[$.

Points clés attendus

• Équation avec $\ln$ : passer à l'exponentielle et conclure sur le nombre de solutions de $x^2=\mathrm{e}^{2022}-1$.

• Points d'inflexion : étudier le signe de $g''$ et vérifier qu'il change de signe.

• Primitive : dériver la proposition choisie et retrouver $f$, avec la forme $\dfrac{u'}{u}$.

• Ensemble de définition d'un $\ln$ : résoudre l'inéquation $-x^2-x+6>0$ par le signe du trinôme.

• Inéquation logarithmique : donner d'abord le domaine ($x>-1$), puis utiliser la croissance de $\ln$ et recouper avec le domaine.

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