Bac 2022, Centres étrangers : exercice 2

1. Calcul d'un angle

Question 1. a) On calcule coordonnée par coordonnée, avec $\mathrm{A}(2\,;\,0\,;\,3)$, $\mathrm{B}(0\,;\,2\,;\,1)$ et $\mathrm{C}(-1\,;\,-1\,;\,2)$ :

Si ces vecteurs étaient colinéaires, il existerait un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\lambda\overrightarrow{\mathrm{AB}}$. La première coordonnée donnerait $\lambda=\dfrac{-3}{-2}=1{,}5$, la deuxième $\lambda=\dfrac{-1}{2}=-0{,}5$ : ces deux valeurs sont différentes.

Donc $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ne sont pas colinéaires, et les points A, B et C ne sont pas alignés.

Question 1. b) Le repère étant orthonormé :

Réponse : $\mathrm{AB}=2\sqrt3$ et $\mathrm{AC}=\sqrt{11}$.

Question 1. c) On calcule le produit scalaire avec les coordonnées :

On l'exprime aussi avec les normes et l'angle : $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB}\times\mathrm{AC}\times\cos\widehat{\mathrm{BAC}}$.

Donc

On en déduit, à la calculatrice (en degrés) :

Réponse : $\cos\widehat{\mathrm{BAC}}=\dfrac{\sqrt{33}}{11}$ et $\widehat{\mathrm{BAC}}\approx 58{,}5^\circ$ (au dixième de degré).

2. Calcul d'une aire

Question 2. a) Le plan $\mathcal{P}$ est perpendiculaire à la droite (AB) : le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}(-2\,;\,2\,;\,-2)$ est donc normal à $\mathcal{P}$.

Une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est de la forme

Le point $\mathrm{C}(-1\,;\,-1\,;\,2)$ appartient à $\mathcal{P}$, donc

Une équation de $\mathcal{P}$ est donc $-2x+2y-2z+4=0$, ou, en divisant par $-2$, $x-y+z-2=0$.

Vérification avec C : $-1-(-1)+2-2=0$.

Question 2. b) La droite (AB) passe par $\mathrm{A}(2\,;\,0\,;\,3)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}(-2\,;\,2\,;\,-2)$.

Une représentation paramétrique de (AB) est donc

Question 2. c) Le point E est le point d'intersection de (AB) et de $\mathcal{P}$.

Un point de (AB) a pour coordonnées $(2-2t\,;\,2t\,;\,3-2t)$. Il appartient à $\mathcal{P}$ si et seulement si

On reporte $t=\dfrac12$ : $x=2-1=1$, $y=1$, $z=3-1=2$.

Donc $\mathrm{E}(1\,;\,1\,;\,2)$.

Réponse : $\mathrm{E}(1\,;\,1\,;\,2)$.

Question 2. d) Le point E est le projeté orthogonal de C sur (AB) : la droite (CE) est la hauteur issue de C du triangle ABC.

On calcule $\overrightarrow{\mathrm{CE}}(1+1\,;\,1+1\,;\,2-2)=\overrightarrow{\mathrm{CE}}(2\,;\,2\,;\,0)$, donc

L'aire du triangle ABC est

Réponse : l'aire du triangle ABC est $2\sqrt6$ (unités d'aire).

3. Calcul d'un volume

Question 3. a) On a $\overrightarrow{\mathrm{AF}}(1-2\,;\,-1-0\,;\,3-3)=\overrightarrow{\mathrm{AF}}(-1\,;\,-1\,;\,0)$.

Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ne sont pas colinéaires (question 1. a) : ils dirigent le plan (ABC). Les points A, B, C et F sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{\mathrm{AF}}=a\overrightarrow{\mathrm{AB}}+b\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, c'est-à-dire

La troisième équation donne $b=-2a$.

On reporte dans la deuxième : $2a+2a=-1$, donc $a=-\dfrac14$ et $b=\dfrac12$.

Vérification dans la première équation : $-2\times\left(-\dfrac14\right)-3\times\dfrac12=\dfrac12-\dfrac32=-1$. Le système est donc vérifié.

Ainsi $\overrightarrow{\mathrm{AF}}=-\dfrac14\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, et les points A, B, C et F sont coplanaires.

Question 3. b) On a $\overrightarrow{\mathrm{FD}}(3-1\,;\,-3+1\,;\,-1-3)=\overrightarrow{\mathrm{FD}}(2\,;\,-2\,;\,-4)$.

On calcule les produits scalaires :

Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{FD}}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ du plan (ABC).

Donc la droite (FD) est orthogonale au plan (ABC).

Question 3. c) Le point F appartient au plan (ABC) (question 3. a) et la droite (FD) est orthogonale à ce plan (question 3. b) : F est le projeté orthogonal de D sur (ABC).

La hauteur du tétraèdre ABCD relative à la base ABC est donc

La base ABC a pour aire $2\sqrt6$ (question 2. d).

D'après la formule du volume d'un tétraèdre :

Donc le volume du tétraèdre ABCD est égal à $8$ (unités de volume).

Réponse : $V=8$.

Points clés attendus

• Justifier la non-colinéarité de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ avec des rapports de coordonnées différents.

• Calculer le produit scalaire avec les coordonnées, puis avec les normes et le cosinus, avant d'isoler $\cos\widehat{\mathrm{BAC}}$.

• Équation du plan : vecteur normal $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, constante déterminée avec C   point E obtenu en résolvant le système (droite et plan).

• Aire par la formule $\dfrac12\times\text{base}\times\text{hauteur}$ avec la hauteur $\mathrm{CE}$.

• Coplanarité par une combinaison linéaire explicite   orthogonalité d'une droite à un plan par deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires.

• Volume : identifier F comme pied de la hauteur issue de D et citer la formule $V=\dfrac13\times\mathcal{B}\times h$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.