Bac 2022, Asie : exercice 3

Partie 1

Données de l'énoncé : la probabilité que Julien manque son bus est $0{,}8$, donc

S'il prend le bus de $8$ h, il est sûr d'être à l'heure : $P_B(V)=1$. S'il manque son bus, il est à l'heure avec la probabilité $0{,}5$ : $P_{\overline B}(V)=0{,}5$.

Question 1. L'énoncé indique que, s'il prend le bus de $8$ h, Julien est sûr d'être à l'aéroport à temps. Donc

Réponse : $P_B(V)=1$.

Question 2. L'arbre pondéré comporte deux niveaux. À la racine, deux branches :

• $B$ avec la probabilité $P(B)=0{,}2$

• $\overline B$ avec la probabilité $P\left(\overline B\right)=0{,}8$.

Depuis $B$, deux branches : $V$ avec $P_B(V)=1$ et $\overline V$ avec $P_B\left(\overline V\right)=0$.

Depuis $\overline B$, deux branches : $V$ avec $P_{\overline B}(V)=0{,}5$ et $\overline V$ avec $P_{\overline B}\left(\overline V\right)=0{,}5$.

Question 3. Les évènements $B$ et $\overline B$ sont de probabilités non nulles et forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales,

On remplace par les valeurs :

Donc la probabilité que Julien soit à l'heure à l'aéroport est $P(V)=0{,}6$.

Question 4. On cherche la probabilité que Julien soit arrivé en bus sachant qu'il est à l'heure, c'est-à-dire $P_V(B)$.

D'après la définition de la probabilité conditionnelle, avec $P(V)=0{,}6\neq0$,

On a $P(B\cap V)=P(B)\times P_B(V)=0{,}2\times1=0{,}2$. Donc

Donc, sachant que Julien est à l'heure à l'aéroport, la probabilité qu'il y soit arrivé en bus est $\dfrac13$.

Réponse : $P_V(B)=\dfrac13\approx0{,}333$.

Partie 2

Question 1. Pour chaque passager, on considère l'épreuve : « le passager se présente à l'embarquement ». C'est une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès $p=1-0{,}05=0{,}95$.

Il y a $206$ passagers (un par billet vendu). L'énoncé indique que la présence de chaque passager est indépendante de celle des autres, et la probabilité de se présenter est la même pour tous.

On répète donc $n=206$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de même probabilité de succès $0{,}95$. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=206$ et $p=0{,}95$.

Question 2. Pour une loi binomiale, l'espérance est $E(X)=np$ :

Donc, en moyenne, $195{,}7$ passagers se présentent à l'embarquement.

Réponse : $E(X)=195{,}7$.

Question 3. Puisque $X$ suit la loi binomiale de paramètres $206$ et $0{,}95$,

À la calculatrice, $P(X=201)\approx0{,}03063$.

Donc la probabilité que $201$ passagers se présentent est environ $0{,}031$ (arrondie au millième).

Réponse : $P(X=201)\approx0{,}031$.

Question 4. À la calculatrice, $P(X\leqslant200)\approx0{,}94775$.

Donc $P(X\leqslant200)\approx0{,}948$ (arrondie au millième).

Interprétation : l'avion compte $200$ places, donc $X\leqslant200$ signifie que tous les passagers qui se présentent peuvent embarquer. La probabilité que la compagnie n'ait aucun passager lésé est d'environ $94{,}8\,\%$.

Réponse : $P(X\leqslant200)\approx0{,}948$.

Question 5. a) La somme des probabilités d'une loi de probabilité vaut $1$.

On additionne les probabilités connues :

Donc

Réponse : $P(Y=6)=0{,}00003$.

Question 5. b) La compagnie vend $206$ billets à $250$ euros : la recette de la vente est $206\times250=51\,500$ euros.

Chacun des $Y$ passagers qui ne peuvent pas embarquer est remboursé ($250$ euros) et reçoit une pénalité de $600$ euros. La compagnie perd donc $250+600=850$ euros par passager lésé.

Donc le chiffre d'affaires est

Question 5. c) Pour chaque valeur $y_i$ de $Y$, la valeur correspondante de $C$ est $51\,500-850y_i$. La loi de $C$ est la suivante :

• $C=51\,500$ avec la probabilité $0{,}94775$ (pour $Y=0$)

• $C=50\,650$ avec la probabilité $0{,}03063$ (pour $Y=1$)

• $C=49\,800$ avec la probabilité $0{,}01441$ (pour $Y=2$)

• $C=48\,950$ avec la probabilité $0{,}00539$ (pour $Y=3$)

• $C=48\,100$ avec la probabilité $0{,}00151$ (pour $Y=4$)

• $C=47\,250$ avec la probabilité $0{,}00028$ (pour $Y=5$)

• $C=46\,400$ avec la probabilité $0{,}00003$ (pour $Y=6$).

Calcul de l'espérance. Par linéarité de l'espérance, $E(C)=51\,500-850\,E(Y)$.

On a

Donc

Donc l'espérance du chiffre d'affaires est environ $51\,429$ euros (arrondie à l'euro).

Réponse : $E(C)\approx51\,429$ euros.

Question 5. d) En vendant exactement $200$ billets, aucun passager n'est lésé et le chiffre d'affaires est $200\times250=50\,000$ euros.

En pratiquant le surbooking, le chiffre d'affaires moyen est d'environ $51\,429$ euros.

Comme $51\,429-50\,000=1\,429$, le surbooking procure en moyenne environ $1\,429$ euros de plus : il est avantageux pour la compagnie, en moyenne.

Points clés attendus

• Traduire les données en probabilités : $P(B)=0{,}2$, $P_B(V)=1$, $P_{\overline B}(V)=0{,}5$.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{B\,;\overline B\}$, puis la définition de la probabilité conditionnelle.

• Justifier la loi binomiale : $206$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité $0{,}95$.

• Donner les valeurs approchées demandées au millième et interpréter $P(X\leqslant200)$ dans le contexte.

• Justifier $C=51\,500-850Y$ puis calculer l'espérance de $C$ pour comparer avec $50\,000$ euros.

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