Bac 2022, Asie : exercice 4

Question 1. a) Pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1}=0{,}3+0{,}7p_n^2$, avec $p_0=0{,}3$.

Calcul de $p_1$ :

Calcul de $p_2$ :

Donc $p_1=0{,}363$ et $p_2=0{,}3922383$.

Interprétation : $p_n$ est la probabilité d'obtenir au plus $n$ descendances pour une bactérie. La relation $p_{n+1}=0{,}3+0{,}7p_n^2$ traduit : la bactérie meurt sans descendance (probabilité $0{,}3$), ou elle se divise (probabilité $0{,}7$) et ses deux filles, indépendantes, sont chacune dans le cas de $p_n$.

Ainsi $p_1=0{,}363$ est la probabilité d'obtenir au plus $1$ descendance, soit $36{,}3\,\%$, et $p_2\approx0{,}392$ est la probabilité d'en obtenir au plus $2$, soit environ $39{,}2\,\%$.

Réponse : $p_1=0{,}363$ et $p_2=0{,}3922383$.

Question 1. b) Obtenir au moins $11$ générations est l'évènement contraire d'en obtenir au plus $10$, dont la probabilité est $p_{10}$.

D'après la feuille de calcul, $p_{10}\approx0{,}42802018$.

Donc la probabilité cherchée est

Donc la probabilité d'obtenir au moins $11$ générations est environ $0{,}572$.

Réponse : $1-p_{10}\approx0{,}572$.

Question 1. c) Les valeurs de la feuille de calcul augmentent d'une ligne à la suivante : on conjecture que la suite $\left(p_n\right)$ est croissante.

Les accroissements deviennent de plus en plus petits et les valeurs se stabilisent autour de $0{,}4285$ : on conjecture que la suite converge vers une limite proche de $0{,}4286$.

Question 2. a) Pour tout entier naturel $n$, on pose $P(n)$ : « $0\leqslant p_n\leqslant p_{n+1}\leqslant0{,}5$ ».

Initialisation. On a $p_0=0{,}3$ et $p_1=0{,}363$, donc $0\leqslant0{,}3\leqslant0{,}363\leqslant0{,}5$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $0\leqslant p_{k+1}\leqslant p_{k+2}\leqslant0{,}5$.

La fonction carré est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$. Tous les nombres de l'hypothèse de récurrence sont positifs : on conserve donc le sens des inégalités en les élevant au carré :

On multiplie par $0{,}7>0$, ce qui conserve le sens des inégalités :

On ajoute $0{,}3$ à chaque membre :

Or $0{,}3+0{,}7p_k^2=p_{k+1}$ et $0{,}3+0{,}7p_{k+1}^2=p_{k+2}$. On obtient

Donc $0\leqslant p_{k+1}\leqslant p_{k+2}\leqslant0{,}5$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

Question 2. b) D'après la question 2. a), pour tout $n$, $p_n\leqslant p_{n+1}$ : la suite $\left(p_n\right)$ est croissante. De plus, pour tout $n$, $p_n\leqslant0{,}5$ : elle est majorée par $0{,}5$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $\left(p_n\right)$ est convergente.

Question 3. a) La suite $\left(p_n\right)$ converge vers $L$ (question 2. b)). La suite décalée $\left(p_{n+1}\right)$ converge aussi vers $L$.

On a $p_{n+1}=g\left(p_n\right)$ avec $g:x\mapsto0{,}3+0{,}7x^2$, fonction polynôme donc continue sur $\mathbb{R}$.

Par continuité de $g$ en $L$, $\lim\limits_{n\to+\infty}g\left(p_n\right)=g(L)$. En passant à la limite dans l'égalité $p_{n+1}=0{,}3+0{,}7p_n^2$, on obtient

Donc $0{,}7L^2-L+0{,}3=0$ : $L$ est solution de l'équation $0{,}7x^2-x+0{,}3=0$.

Question 3. b) On résout $0{,}7x^2-x+0{,}3=0$. Le discriminant est

L'équation admet deux solutions :

Pour tout $n$, $p_n\leqslant0{,}5$. Par passage à la limite dans une inégalité large, $L\leqslant0{,}5$. Donc $L\neq1$.

Donc $L=\dfrac37$, c'est-à-dire

Ce résultat est cohérent avec la conjecture de la question 1. c).

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=\dfrac37$.

Question 4. La fonction doit renvoyer la liste des $n$ premiers termes $p_0,p_1,\dots,p_{n-1}$.

• Ligne 2 : on initialise avec $p_0$, donc p=0.3.

• Ligne 4 : la liste s contient déjà $p_0$   il faut ajouter $n-1$ termes, donc for i in range(n-1):.

• Ligne 5 : on calcule le terme suivant avec la relation de récurrence, donc p=0.3+0.7*p**2.

Fonction complétée :

def suite(n):
    p=0.3
    s=[p]
    for i in range(n-1):
        p=0.3+0.7*p**2
        s.append(p)
    return(s)

Vérification pour $n=3$ : la liste est initialisée à $[0.3]$, puis la boucle s'exécute $2$ fois et ajoute $p_1=0{,}363$ puis $p_2=0{,}3922383$. La fonction renvoie bien les $3$ premiers termes $p_0,p_1,p_2$.

Points clés attendus

• Calculer $p_1$ et $p_2$ exactement, et passer par l'évènement contraire pour « au moins $11$ générations ».

• Rédiger la récurrence complète (initialisation, hérédité avec la croissance de la fonction carré, conclusion).

• Citer le théorème de la limite monotone : suite croissante et majorée.

• Justifier le passage à la limite par la continuité de $x\mapsto0{,}3+0{,}7x^2$, puis écarter la racine $1$ grâce à la majoration par $0{,}5$.

• Compléter le script Python en justifiant le nombre de tours de boucle (n-1).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.