Bac 2022, Asie : exercice 2

Partie A

Question 1. La courbe $\mathcal{C}_1$ (en bleu) représente $f$ et la courbe $\mathcal{C}_2$ (en pointillés rouges) représente $f'$.

Justification. La courbe $\mathcal{C}_1$ est croissante sur $]3\,;+\infty[$. Si elle représentait $f$, la fonction $f'$ serait positive, ce qui est cohérent avec la courbe $\mathcal{C}_2$, située au-dessus de l'axe des abscisses.

Examinons l'hypothèse inverse : $\mathcal{C}_2$ représenterait $f$ et $\mathcal{C}_1$ représenterait $f'$. La courbe $\mathcal{C}_2$ est décroissante sur $]3\,;+\infty[$, donc $f'$ serait négative. Or $\mathcal{C}_1$ prend des valeurs strictement positives pour $x$ grand : c'est contradictoire.

Donc $\mathcal{C}_1$ représente $f$ et $\mathcal{C}_2$ représente $f'$.

Question 2. Les solutions de $f(x)=3$ sont les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_1$ et de la droite d'équation $y=3$.

Graphiquement, il y a un seul point d'intersection, d'abscisse environ $5{,}6$.

Donc l'équation $f(x)=3$ admet une solution, $x\approx5{,}6$.

Réponse : $x\approx5{,}6$.

Question 3. La fonction $f'$ est représentée par $\mathcal{C}_2$, qui est décroissante sur $]3\,;+\infty[$. Donc $f''\leqslant0$ sur cet intervalle.

Donc $f$ semble concave sur $]3\,;+\infty[$.

Réponse : $f$ est concave sur $]3\,;+\infty[$.

Partie B

Question 1. Pour tout réel $x$,

Pour développer : $(x-3)(x+2)=x^2+2x-3x-6=x^2-x-6$.

Soit $x\in I=]3\,;+\infty[$. Alors $x-3>0$ et $x+2>0$, donc leur produit est strictement positif :

La fonction $\ln$ est définie sur $]0\,;+\infty[$.

Donc $\ln\left(x^2-x-6\right)$ est bien définie pour tout $x\in I$.

Question 2. Limite en $3$ par valeurs supérieures.

On a $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$. Quand $x\to3^+$, $x-3\to0^+$ et $x+2\to5$, donc $x^2-x-6\to0^+$.

Comme $\lim\limits_{X\to0^+}\ln X=-\infty$, par limite d'une composée

Limite en $+\infty$.

Pour $x>0$, $x^2-x-6=x^2\left(1-\dfrac1x-\dfrac6{x^2}\right)$. Or $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac1x-\dfrac6{x^2}\right)=1$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty$, donc par produit $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x^2-x-6\right)=+\infty$.

Comme $\lim\limits_{X\to+\infty}\ln X=+\infty$, par limite d'une composée

Asymptote. Puisque $\lim\limits_{x\to3^+}f(x)=-\infty$, la courbe représentative de $f$ admet pour asymptote verticale la droite d'équation $x=3$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to3^+}f(x)=-\infty$   $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$   asymptote verticale d'équation $x=3$.

Question 3. a) La fonction $v:x\mapsto x^2-x-6$ est dérivable sur $I$ et strictement positive sur $I$ (question 1). La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$.

Par composition, $f=\ln(v)$ est dérivable sur $I$ et $f'=\dfrac{v'}{v}$. Avec $v'(x)=2x-1$, on obtient pour tout $x\in I$

Réponse : $f'(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}$.

Question 3. b) Soit $x\in I$. Alors $x>3$, donc $2x-1>5>0$. De plus $x^2-x-6>0$ (question 1).

Le quotient de deux nombres strictement positifs est strictement positif : $f'(x)>0$ pour tout $x\in I$.

Donc $f$ est strictement croissante sur $I$.

Tableau de variations (décrit en phrases) : sur $]3\,;+\infty[$, $f$ est strictement croissante, de la limite $-\infty$ en $3^+$ jusqu'à la limite $+\infty$ en $+\infty$.

Question 4. a) La fonction $f$ est dérivable sur $I$, donc continue sur $I$, en particulier sur $]5\,;6[$ (et sur $[5\,;6]$, contenu dans $I$). Elle est strictement croissante sur $[5\,;6]$.

On calcule les valeurs aux bornes :

Donc $f(5)<3<f(6)$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à la fonction $f$ continue et strictement croissante sur $[5\,;6]$, l'équation $f(x)=3$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]5\,;6[$.

Question 4. b) À la calculatrice (tableau de valeurs) :

Comme $f$ est strictement croissante, $f(5{,}63)<f(\alpha)<f(5{,}64)$ donne $5{,}63<\alpha<5{,}64$.

Réponse : $5{,}63<\alpha<5{,}64$.

Question 5. a) On a $f'=\dfrac uv$ avec $u(x)=2x-1$ et $v(x)=x^2-x-6$, donc $u'(x)=2$ et $v'(x)=2x-1$. Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ et $v$ ne s'y annule pas.

D'après la formule de dérivation d'un quotient, pour tout $x\in I$,

Question 5. b) Le dénominateur $\left(x^2-x-6\right)^2$ est strictement positif sur $I$.

Le numérateur est le trinôme $-2x^2+2x-13$. Son discriminant est

Le trinôme n'a donc pas de racine réelle : il a le signe de son coefficient dominant $-2$, c'est-à-dire qu'il est strictement négatif pour tout réel $x$.

Donc $f''(x)<0$ pour tout $x\in I$.

La fonction $f$ est concave sur $I$, ce qui confirme la lecture graphique de la question 3 de la partie A.

Points clés attendus

• Justifier l'association des courbes par le signe de $f'$ et le sens de variation de $f$.

• Factoriser $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ pour justifier le signe et la limite en $3^+$.

• Citer le théorème des valeurs intermédiaires avec continuité, stricte monotonie et signes aux bornes ($f(5)<3<f(6)$).

• Utiliser la formule de dérivation d'un quotient pour $f''$, puis le discriminant du numérateur pour le signe.

• Relier la concavité au signe de $f''$.

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