Bac 2022, Amérique du Nord : exercice 4

Question 1. Réponse d.

On exprime chaque terme à l'aide de $\ln 3$.

On a $\ln 9=\ln\left(3^2\right)=2\ln 3$.

On a $\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{3^{1/2}}{3}=3^{-1/2}$, donc $\ln\dfrac{\sqrt3}{3}=-\dfrac12\ln 3$.

On a $\ln\dfrac19=-\ln 9=-2\ln 3$.

Donc

Donc $a=-\dfrac12\ln 3$.

Réponse : d.

Question 2. Réponse c.

L'équation $(E)$ : $\ln x+\ln(x-10)=\ln 3+\ln 7$ n'a de sens que si $x>0$ et $x-10>0$, c'est-à-dire pour $x>10$.

Pour $x>10$, la propriété $\ln a+\ln b=\ln(ab)$ donne

La fonction $\ln$ est strictement croissante, donc injective sur $]0\,;+\infty[$ :

Le discriminant est $\Delta=100+84=184=4\times 46>0$. Les solutions de ce trinôme sont

On teste le domaine $x>10$ :

• $5-\sqrt{46}<0$ (car $\sqrt{46}>5$), donc $5-\sqrt{46}$ n'est pas dans le domaine : ce n'est pas une solution de $(E)$

• $5+\sqrt{46}\approx 11{,}78>10$, donc $5+\sqrt{46}$ est une solution de $(E)$.

Par ailleurs, $3$ n'est pas dans le domaine ($\ln(3-10)$ n'existe pas), donc la proposition a est fausse. La proposition b est fausse ($5-\sqrt{46}$ n'est pas solution), et la proposition d est fausse (une seule solution).

Donc l'équation $(E)$ admet une unique solution réelle, $5+\sqrt{46}$.

Réponse : c.

Question 3. Réponse d.

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables.

On applique la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x^2$ et $v(x)=-1+\ln x$ :

Donc $f'(x)=x\,(2\ln x-1)$ pour tout $x>0$.

On examine les propositions.

• Proposition a : $f'(1)=1\times(0-1)=-1$, alors que $2\times 1+\dfrac11=3$. Elle est fausse.

• Proposition b : pour $0<x<\sqrt{\mathrm{e}}$, on a $\ln x<\dfrac12$, donc $2\ln x-1<0$ et $f'(x)<0$ (car $x>0$). La fonction $f$ est décroissante sur $]0\,;\sqrt{\mathrm{e}}]$, donc pas croissante sur $]0\,;+\infty[$. Elle est fausse.

• Proposition c : $f'\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)=\sqrt{\mathrm{e}}\,\left(2\times\dfrac12-1\right)=0$. Elle est fausse.

• Proposition d : la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\sqrt{\mathrm{e}}$ a pour coefficient directeur $f'\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)=0$, c'est donc une droite horizontale. Son ordonnée est

  $$f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)=\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)^2\left(-1+\ln\sqrt{\mathrm{e}}\right)=\mathrm{e}\left(-1+\dfrac12\right)=-\dfrac{\mathrm{e}}{2}.$$
  Son équation est $y=-\dfrac{\mathrm{e}}{2}$. Elle est vraie.

Donc la droite d'équation $y=-\dfrac{\mathrm{e}}2$ est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\sqrt{\mathrm{e}}$.

Réponse : d.

Question 4. Réponse b.

On répète $5$ tirages avec remise. Les tirages sont identiques et indépendants, et chacun est une épreuve de Bernoulli dont le succès « tirer un jeton jaune » a pour probabilité $p=\dfrac{20}{50}=0{,}4$.

Donc le nombre $X$ de jetons jaunes obtenus suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0{,}4$.

Alors

Arrondie au millième : $0{,}346$.

Donc la probabilité de tirer exactement $2$ jetons jaunes est environ $0{,}346$.

Réponse : b.

Question 5. Réponse d.

Avec la même variable $X$, l'évènement « tirer au moins un jeton jaune » est $\{X\geqslant 1\}$, de contraire $\{X=0\}$.

On a

Donc

Arrondie au millième : $0{,}922$.

Donc la probabilité de tirer au moins un jeton jaune est environ $0{,}922$.

Réponse : d.

Question 6. Réponse c.

Le nombre moyen de jetons jaunes obtenus en répétant l'expérience un très grand nombre de fois est l'espérance de la variable $X$, qui suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0{,}4$.

L'espérance d'une loi binomiale est

Donc, en moyenne, le nombre de jetons jaunes est égal à $2$.

Réponse : c.

Points clés attendus

• Question 1 : exprimer chaque logarithme avec $\ln 3$ en utilisant $\ln(a^n)=n\ln a$ et $\ln\dfrac1a=-\ln a$.

• Question 2 : déterminer d'abord l'ensemble de définition ($x>10$), puis vérifier que chaque racine du trinôme y appartient.

• Question 3 : dériver avec $(uv)'=u'v+uv'$, étudier le signe de $2\ln x-1$, puis calculer $f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)$ pour l'équation de la tangente horizontale.

• Questions 4 à 6 : justifier le modèle binomial (cinq tirages identiques et indépendants, succès de probabilité $0{,}4$), puis calculer avec les bons paramètres.

• Question 5 : passer par l'évènement contraire, et arrondir au millième comme demandé.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.