Bac 2022, Polynésie : exercice 3

Partie 1

Question 1.

La fonction $g$ est le quotient de deux fonctions dérivables sur $]0\,;+\infty[$, dont le dénominateur ne s'annule pas sur cet intervalle. Donc $g$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$.

On pose $g=\dfrac{u}{v}$ avec, pour tout $x>0$ :

On utilise la formule de dérivation d'un quotient : $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.

Pour tout $x>0$ :

Donc, pour tout réel $x$ strictement positif, $g'(x)=\dfrac{2-2\ln x}{x^2}$.

Question 2. a)

On calcule $g(\mathrm{e})$ avec $\ln \mathrm{e}=1$ :

Donc la valeur lue dans le tableau est bien $g(\mathrm{e})=\dfrac{2}{\mathrm{e}}$.

Réponse : $g(\mathrm{e})=\dfrac{2}{\mathrm{e}}$.

Question 2. b)

Pour tout $x>0$, on a $x^2>0$. Donc $g'(x)$ est du signe de $2-2\ln x$.

On résout l'inéquation :

La dernière équivalence provient de la stricte croissance de la fonction exponentielle (ou de la fonction $\ln$) sur $]0\,;+\infty[$.

De même, $2-2\ln x=0\iff x=\mathrm{e}$.

On en déduit :

• $g'(x)>0$ sur $]0\,;\mathrm{e}[$

• $g'(\mathrm{e})=0$

• $g'(x)<0$ sur $]\mathrm{e}\,;+\infty[$.

Une fonction dérivable dont la dérivée est strictement positive sur un intervalle est strictement croissante sur cet intervalle, et strictement décroissante si la dérivée est strictement négative.

Donc $g$ est strictement croissante sur $]0\,;\mathrm{e}]$ et strictement décroissante sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$. Elle admet un maximum en $\mathrm{e}$, égal à $\dfrac{2}{\mathrm{e}}$.

Question 2. c)

Limite en $0$. Pour $x>0$, on écrit $g(x)=\dfrac{2}{x}\times\ln x$.

On a $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{2}{x}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$.

Par produit, $\lim\limits_{x\to 0^+}g(x)=-\infty$.

Limite en $+\infty$. On écrit $g(x)=2\times\dfrac{\ln x}{x}$.

D'après le théorème des croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$.

Donc, par produit par la constante $2$, $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0$.

Donc les limites de $g$ aux bornes de $]0\,;+\infty[$ sont $-\infty$ en $0$ et $0$ en $+\infty$, comme indiqué dans le tableau.

Question 3.

Pour $x>0$, $g(x)=\dfrac{2\ln x}{x}$ avec $x>0$ : le signe de $g(x)$ est celui de $\ln x$.

On a $\ln x=0\iff x=1$, donc $g(1)=0$.

Comme la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ et s'annule en $1$ :

• pour $0<x<1$, $\ln x<0$, donc $g(x)<0$

• pour $x>1$, $\ln x>0$, donc $g(x)>0$.

Donc $g(x)<0$ sur $]0\,;1[$, $g(1)=0$ et $g(x)>0$ sur $]1\,;+\infty[$.

Partie 2

Question 1.

On pose $u(x)=\ln x$. La fonction $u$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, avec $u'(x)=\dfrac{1}{x}$.

La fonction $f=u^2$ est donc dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et, d'après la formule $(u^2)'=2u'u$ :

Donc $f'=g$ sur $]0\,;+\infty[$ : la fonction $f$ est une primitive de $g$ sur $]0\,;+\infty[$.

Question 2. a)

D'après la question précédente, $f'=g$. La fonction $g$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, donc $f'$ l'est aussi, et $f''=g'$.

D'après la partie 1 (question 2. b)), le signe de $g'(x)$ est celui de $2-2\ln x$ :

• $f''(x)>0$ sur $]0\,;\mathrm{e}[$

• $f''(\mathrm{e})=0$

• $f''(x)<0$ sur $]\mathrm{e}\,;+\infty[$.

Une fonction est convexe sur un intervalle lorsque sa dérivée seconde y est positive, et concave lorsqu'elle y est négative.

Donc $f$ est convexe sur $]0\,;\mathrm{e}]$ et concave sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$. Comme $f''$ s'annule en changeant de signe en $\mathrm{e}$, la courbe de $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $\mathrm{e}$.

Question 2. b)

On a $f'=g$. D'après la partie 1 (question 3), le signe de $g$ est connu :

• $f'(x)<0$ sur $]0\,;1[$

• $f'(1)=0$

• $f'(x)>0$ sur $]1\,;+\infty[$.

Donc $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;1]$ et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$.

Question 3. a)

L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $\mathrm{e}$ est

On a $f(\mathrm{e})=[\ln \mathrm{e}]^2=1$ et $f'(\mathrm{e})=g(\mathrm{e})=\dfrac{2}{\mathrm{e}}$.

Donc

Réponse : la tangente a pour équation $y=\dfrac{2}{\mathrm{e}}x-1$.

Question 3. b)

D'après la question 2. a), la fonction $f$ est convexe sur $]0\,;\mathrm{e}]$.

Or la courbe d'une fonction convexe sur un intervalle est située au-dessus de chacune de ses tangentes en un point de cet intervalle. Le point d'abscisse $\mathrm{e}$ appartient à $]0\,;\mathrm{e}]$.

Donc, pour tout $x\in\,]0\,;\mathrm{e}]$, la courbe de $f$ est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $\mathrm{e}$ :

Points clés attendus

• Citer la formule de dérivation d'un quotient et celle de $u^2$, avec les fonctions $u$ et $v$ explicitées.

• Justifier les limites : produit pour la limite en $0$, croissances comparées pour la limite en $+\infty$.

• Relier le signe de $g'$ (ou de $g$) aux variations, puis $f''=g'$ à la convexité, et $f'=g$ aux variations de $f$.

• Utiliser le fait qu'une courbe convexe est au-dessus de ses tangentes pour obtenir l'inégalité finale.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.