Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2022, Amérique du Nord : exercice 3

19 mai 2022 · 7 points

Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace

Une exposition d'art contemporain a lieu dans une salle en forme de pavé droit de largeur 6 m, de longueur 8 m et de hauteur 4 m.

Elle est représentée par le parallélépipède rectangle OBCDEFGH où OB $= 6$ m, OD $= 8$ m et OE $= 4$ m.

On utilise le repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ tel que $\overrightarrow{\imath} = \dfrac16\overrightarrow{\text{OB}}, \overrightarrow{\jmath} = \dfrac18\overrightarrow{\text{OD}}$ et $\overrightarrow{k} =\dfrac14\overrightarrow{\text{OE}}$ .

Figure de l'énoncé, exercice 3, Amérique du Nord 19 mai 2022

Dans ce repère on a, en particulier C(6   8   0), F(6   0   4) et G(6   8   4).

Une des œuvres exposées est un triangle de verre représenté par le triangle ART qui a pour

sommets A(6   0   2), R(6   3   4) et T(3   0   4), Enfin, S est le point de coordonnées $\left(3\;;\;\dfrac52\;;\;0\right)$ .

1. Vérifier que le triangle ART est isocèle en A.
2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\text{AR}} \cdot \overrightarrow{\text{AT}}$ .
3. En déduire une valeur approchée à $0,1$ degré près de l'angle $\widehat{\text{RAT}}$ .
1. Justifier que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ART).
2. En déduire une équation cartésienne du plan (ART).
Un rayon laser dirigé vers le triangle ART est émis du plancher à partir du point S. On admet que ce rayon est orthogonal au plan (ART).
1. Soit $\Delta$ la droite orthogonale au plan (ART) et passant par le point S.
  
  Justifier que le système ci-dessous est une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ :
  
  $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&3+2k\\ y&=& \dfrac52 - 2k\\ z &=& 3k \end{array}\right.,\, \text{avec }\,k \in \mathbb{R}.$
2. Soit L le point d'intersection de la droite $\Delta$ , avec le plan (ART).
  
  Démontrer que L a pour coordonnées $\left(5\;;\;\dfrac12\;;\;3\right)$ .
L'artiste installe un rail représenté par le segment [DK] ou K est le milieu du segment [EH].

Sur ce rail, il positionne une source lumineuse laser en un point N du segment [DK] et il oriente ce second rayon laser vers le point S.
1. Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle [0   1], le point N de coordonnées $(0\;;\;8 - 4t\;;\;4t)$ est un point du segment [DK].
2. Calculer les coordonnées exactes du point N tel que les deux rayons laser représentés par les segments [SL] et [SN] soient perpendiculaires.

Voir le corrigé

Question 1. a)

Les vecteurs $\overrightarrow{AR}$ et $\overrightarrow{AT}$ se calculent coordonnée par coordonnée, avec $A(6\,;0\,;2)$ , $R(6\,;3\,;4)$ et $T(3\,;0\,;4)$ :

\overrightarrow{AR}\begin{pmatrix}6-6\\3-0\\4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad\overrightarrow{AT}\begin{pmatrix}3-6\\0-0\\4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\0\\2\end{pmatrix}.

Le repère est orthonormé, donc

AR=\sqrt{0^2+3^2+2^2}=\sqrt{13}\qquad\text{et}\qquad AT=\sqrt{(-3)^2+0^2+2^2}=\sqrt{13}.

On a $AR=AT$ .

Donc le triangle $ART$ est isocèle en $A$ .

Le produit scalaire se calcule avec les coordonnées dans un repère orthonormé :

\overrightarrow{AR}\cdot\overrightarrow{AT}=0\times(-3)+3\times 0+2\times 2=4.

Réponse : $\overrightarrow{AR}\cdot\overrightarrow{AT}=4$ .

Par définition du produit scalaire,

\overrightarrow{AR}\cdot\overrightarrow{AT}=AR\times AT\times\cos\widehat{RAT}=\sqrt{13}\times\sqrt{13}\times\cos\widehat{RAT}=13\cos\widehat{RAT}.

Avec la question précédente, $13\cos\widehat{RAT}=4$ , donc

\cos\widehat{RAT}=\dfrac{4}{13}.

L'angle $\widehat{RAT}$ est compris entre $0^\circ$ et $180^\circ$   à la calculatrice (mode degrés),

\widehat{RAT}=\arccos\left(\dfrac{4}{13}\right)\approx 72{,}1^\circ.

Donc l'angle $\widehat{RAT}$ mesure environ $72{,}1^\circ$ (à $0{,}1$ degré près).

Réponse : $\widehat{RAT}\approx 72{,}1^\circ$ .

Question 2. a)

Les vecteurs $\overrightarrow{AR}(0\,;3\,;2)$ et $\overrightarrow{AT}(-3\,;0\,;2)$ ne sont pas colinéaires : leurs premières coordonnées sont $0$ et $-3$ , tandis que leurs deuxièmes coordonnées sont $3$ et $0$ , donc aucun réel $\lambda$ ne vérifie $\overrightarrow{AT}=\lambda\,\overrightarrow{AR}$ (la deuxième coordonnée imposerait $\lambda=0$ , ce qui est incompatible avec la première).

Ils dirigent donc le plan $(ART)$ .

On calcule les produits scalaires avec $\overrightarrow{n}(2\,;-2\,;3)$ :

\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AR}=2\times 0+(-2)\times 3+3\times 2=-6+6=0,

\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AT}=2\times(-3)+(-2)\times 0+3\times 2=-6+6=0.

Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ART)$ .

Donc $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $(ART)$ .

Un plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}(2\,;-2\,;3)$ a une équation de la forme

2x-2y+3z+d=0.

Le point $A(6\,;0\,;2)$ appartient au plan, donc

2\times 6-2\times 0+3\times 2+d=0,\quad\text{soit}\quad 18+d=0,\quad\text{donc}\quad d=-18.

Une équation cartésienne du plan $(ART)$ est donc

2x-2y+3z-18=0.

Vérification avec les deux autres sommets :

R(6\,;3\,;4) : 12-6+12-18=0,\qquad T(3\,;0\,;4) : 6-0+12-18=0.

Réponse : $(ART) : 2x-2y+3z-18=0$ .

Question 3. a)

La droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ART)$ , donc le vecteur normal $\overrightarrow{n}(2\,;-2\,;3)$ est un vecteur directeur de $\Delta$ .

La droite $\Delta$ passe par $S\left(3\,;\dfrac52\,;0\right)$ .

Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $\Delta$ si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{SM}=k\,\overrightarrow{n}$ , c'est-à-dire

\begin{cases}x-3=2k\\ y-\dfrac52=-2k\\ z-0=3k\end{cases}

Donc

\begin{cases}x=3+2k\\ y=\dfrac52-2k\\ z=3k\end{cases}\qquad k\in\mathbb{R}.

C'est bien le système proposé : c'est une représentation paramétrique de $\Delta$ .

Le point $L$ est le point de $\Delta$ qui appartient au plan $(ART)$ . Ses coordonnées vérifient à la fois la représentation paramétrique de $\Delta$ et l'équation de $(ART)$ .

On remplace $x$ , $y$ , $z$ dans $2x-2y+3z-18=0$ :

2(3+2k)-2\left(\dfrac52-2k\right)+3\times 3k-18=0.

On développe :

6+4k-5+4k+9k-18=0,

17k-17=0,

k=1.

Pour $k=1$ :

x=3+2=5,\qquad y=\dfrac52-2=\dfrac12,\qquad z=3.

Donc $L$ a pour coordonnées $\left(5\,;\dfrac12\,;3\right)$ .

Question 4. a)

On a $D(0\,;8\,;0)$ (car $\overrightarrow{OD}=8\,\overrightarrow{\jmath}$ ), $E(0\,;0\,;4)$ et $H(0\,;8\,;4)$ .

Le point $K$ est le milieu de $[EH]$ :

K\left(\dfrac{0+0}{2}\,;\dfrac{0+8}{2}\,;\dfrac{4+4}{2}\right)=(0\,;4\,;4).

Donc

\overrightarrow{DK}\begin{pmatrix}0-0\\4-8\\4-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-4\\4\end{pmatrix}.

Un point $M$ appartient au segment $[DK]$ si et seulement s'il existe $t\in[0\,;1]$ tel que $\overrightarrow{DM}=t\,\overrightarrow{DK}$ .

Cela donne

\begin{cases}x-0=0\\ y-8=-4t\\ z-0=4t\end{cases}\quad\text{soit}\quad M(0\,;\,8-4t\,;\,4t).

Donc, pour tout $t\in[0\,;1]$ , le point $N(0\,;8-4t\,;4t)$ est un point du segment $[DK]$ (il vaut $D$ pour $t=0$ et $K$ pour $t=1$ ).

Les rayons représentés par $[SL]$ et $[SN]$ sont perpendiculaires si et seulement si $\overrightarrow{SL}\cdot\overrightarrow{SN}=0$ .

On a

\overrightarrow{SL}\begin{pmatrix}5-3\\\frac12-\frac52\\3-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad\overrightarrow{SN}\begin{pmatrix}0-3\\8-4t-\frac52\\4t-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\\frac{11}{2}-4t\\4t\end{pmatrix}.

Donc

\begin{aligned} \overrightarrow{SL}\cdot\overrightarrow{SN}&=2\times(-3)+(-2)\left(\dfrac{11}{2}-4t\right)+3\times 4t\\ &=-6-11+8t+12t\\ &=20t-17. \end{aligned}

Ce produit scalaire est nul si et seulement si $20t=17$ , soit $t=\dfrac{17}{20}$ .

On a bien $t=\dfrac{17}{20}\in[0\,;1]$ : le point $N$ appartient au segment $[DK]$ .

Alors

8-4t=8-\dfrac{17}{5}=\dfrac{23}{5}\qquad\text{et}\qquad 4t=\dfrac{17}{5}.

Donc les rayons laser $[SL]$ et $[SN]$ sont perpendiculaires lorsque $N$ a pour coordonnées $\left(0\,;\dfrac{23}{5}\,;\dfrac{17}{5}\right)$ .

Réponse : $N\left(0\,;\dfrac{23}{5}\,;\dfrac{17}{5}\right)$ .

Points clés attendus

Calculer les vecteurs coordonnée par coordonnée, puis les normes dans un repère orthonormé pour l'isocélie, et utiliser les deux expressions du produit scalaire pour l'angle.
Pour le vecteur normal : vérifier l'orthogonalité à deux vecteurs non colinéaires du plan, en justifiant la non-colinéarité.
Déterminer $d$ avec un point du plan, et contrôler l'équation avec les autres sommets.
Représentation paramétrique de $\Delta$ : point $S$ et vecteur directeur $\overrightarrow{n}$   intersection avec le plan en reportant dans l'équation cartésienne.
Paramétrer $[DK]$ avec $t\in[0\,;1]$ , traduire la perpendicularité par un produit scalaire nul, et vérifier que $t$ est dans $[0\,;1]$ .

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

Les autres exercices de ce sujet

Exercice 1 · 7 points · Suites · Succession d'épreuves et loi binomiale
Exercice 2 · 7 points · Dérivation et convexité · Continuité et TVI
Exercice 4 · 7 points · Fonction logarithme · Dérivation et convexité · Continuité et TVI

Revoir le cours

Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2022 (Amérique du Nord, 19 mai 2022), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

Un doute sur un exercice ou sur ta méthode de rédaction ? On en parle ensemble, sans engagement.

Réserver un appel découverte