Bac 2022, Amérique du Nord : exercice 2

Partie A

Question 1.

La fonction $p$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $[-3\,;4]$.

Pour tout $x\in[-3\,;4]$,

Ce trinôme a pour discriminant

Le discriminant est strictement négatif : le trinôme n'a pas de racine réelle et il est du signe de son coefficient dominant $3$, donc strictement positif.

Donc $p'(x)>0$ pour tout $x\in[-3\,;4]$.

Donc la fonction $p$ est strictement croissante sur $[-3\,;4]$.

Question 2.

La fonction $p$ est continue sur $[-3\,;4]$ (fonction polynôme) et strictement croissante sur cet intervalle.

On calcule les valeurs aux bornes :

On a $p(-3)<0<p(4)$, donc $0\in[p(-3)\,;p(4)]$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, dans sa version pour les fonctions continues et strictement monotones (théorème de la bijection), l'équation $p(x)=0$ admet une unique solution dans $[-3\,;4]$.

Donc l'équation $p(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[-3\,;4]$.

Question 3.

À la calculatrice :

Comme $p$ est strictement croissante et $p(-0{,}2)<0=p(\alpha)<p(-0{,}15)$, on a

Donc $\alpha$ est arrondi au dixième à $-0{,}2$ (le calcul donne $\alpha\approx-0{,}1795$).

Réponse : $\alpha\approx-0{,}2$ au dixième près.

Question 4.

La fonction $p$ est strictement croissante sur $[-3\,;4]$ et $p(\alpha)=0$.

Donc :

• pour $x\in[-3\,;\alpha[$, on a $x<\alpha$ donc $p(x)<p(\alpha)=0$

• $p(\alpha)=0$

• pour $x\in\,]\alpha\,;4]$, on a $x>\alpha$ donc $p(x)>0$.

Donc $p$ est strictement négative sur $[-3\,;\alpha[$, s'annule en $\alpha$, et est strictement positive sur $]\alpha\,;4]$.

Partie B

Question 1. a)

La fonction $f$ est le quotient de $u(x)=\mathrm{e}^x$ par $v(x)=1+x^2$, deux fonctions dérivables sur $[-3\,;4]$, avec $v(x)>0$ pour tout $x$.

On a $u'(x)=\mathrm{e}^x$ et $v'(x)=2x$.

La formule de dérivation d'un quotient $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ donne

On factorise le numérateur par $\mathrm{e}^x$ :

Réponse : $f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x\,(x-1)^2}{(1+x^2)^2}$.

b)

On a

La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ a pour coefficient directeur $f'(1)=0$.

Donc la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $1$.

Question 2. a)

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où la convexité change.

Sur le graphique, la courbe $\mathcal{C}_f$ est d'abord convexe (elle « s'ouvre vers le haut »), puis concave (elle devient très plate, autour de $x=1$ où l'on observe un quasi-palier), puis de nouveau convexe.

Il y a donc deux changements de convexité : la courbe semble avoir deux points d'inflexion.

Donc le toboggan semble assurer de bonnes sensations.

b)

Pour tout $x\in[-3\,;4]$, on a $\mathrm{e}^x>0$ et $(1+x^2)^3>0$.

Donc $f''(x)$ est du signe de $p(x)\,(x-1)$.

On a $p(1)=1-3+5+1=4>0=p(\alpha)$ et $p$ est strictement croissante, donc $\alpha<1$.

On étudie le signe du produit $p(x)(x-1)$ :

• sur $[-3\,;\alpha[$ : $p(x)<0$ et $x-1<0$, donc $f''(x)>0$

• sur $]\alpha\,;1[$ : $p(x)>0$ et $x-1<0$, donc $f''(x)<0$

• sur $]1\,;4]$ : $p(x)>0$ et $x-1>0$, donc $f''(x)>0$.

La fonction $f''$ s'annule en $\alpha$ et en $1$, et elle change de signe en chacun de ces deux points.

Donc $f$ est convexe sur $[-3\,;\alpha]$, concave sur $[\alpha\,;1]$, puis convexe sur $[1\,;4]$, et la courbe $\mathcal{C}_f$ admet exactement deux points d'inflexion, d'abscisses $\alpha$ et $1$.

Donc le profil possède au moins deux points d'inflexion : le toboggan assure de bonnes sensations.

Réponse : oui, $\mathcal{C}_f$ a deux points d'inflexion, d'abscisses $\alpha$ et $1$.

Points clés attendus

• Étudier le signe de $p'$ par le discriminant, puis conclure à la stricte croissance de $p$.

• Pour l'unicité de $\alpha$, citer le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue et strictement monotone, avec les signes de $p(-3)$ et $p(4)$.

• Encadrer $\alpha$ avec deux valeurs de $p$ de signes contraires, puis en déduire le tableau de signes.

• Dériver le quotient avec la formule $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ et factoriser par $\mathrm{e}^x$ pour faire apparaître $(x-1)^2$.

• Établir que $\alpha<1$ avant d'étudier le signe de $f''$, puis conclure avec un changement de signe de $f''$ en $\alpha$ et en $1$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.