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Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2026, Polynésie : exercice 4

16 juin 2026 · jour 1 · 5 points

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O ; ı⃗, ȷ⃗)\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right).

On considère les points A(1  ;2  ;  −1)(1\;;2\;;\;-1), B(0  ;3  ;  2)(0\;;3\;;\;2), C(−2  ;4  ;  0)(-2\;;4\;;\;0) et D(8  ;2  ;  −11)(8\;;2\;;\;-11).

    1. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan.

    2. Démontrer que le vecteur n→(58−1)\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}5\\8\\-1\end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (ABC).

    3. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est 5x+8y−z−22=05x+ 8y - z - 22 = 0.

    4. Vérifier que le point D n'appartient pas au plan (ABC)(ABC).

    1. On considère la droite Δ\Delta, orthogonale au plan (ABC) et passant par D.

      Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite Δ\Delta est :

      {x=−8+5ty=−2+8tz=−11−t,avec t∈R.\begin{cases} x = \phantom{-}8+ 5t\\ y = \phantom{-}2+ 8t\\ z = -11- t \end{cases}, \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.

    2. On appelle E le point d'intersection de la droite Δ\Delta et du plan (ABC).

      Démontrer que le point E a pour coordonnées (112  ;  −2  ;  −212)\left(\dfrac{11}{2}\;;\;-2\;;\;-\dfrac{21}{2}\right).

    3. En déduire la valeur exacte de la longueur DE, distance du point D au plan (ABC).

  3. On note H le point de coordonnées (−23  ;103  ;43)\left(-\dfrac{2}{3}\;;\dfrac{10}{3}\;;\dfrac{4}{3}\right).

    On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (BC) est :

    {x=3−2ky=3+kz=2−2k,avec k∈R.\begin{cases} x = \phantom{3}-2k\\ y = 3+k\\ z = 2-2k \end{cases}, \quad \text{avec } k \in \mathbb{R}.

    Avec un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats suivants :

    Entrée 1 : (−2/3−1)∗(−2)+(10/3−2)∗1+(4/3−(−1))∗(−2)(-2/3-1)*(-2)+(10/3-2)*1+(4/3-(-1))*(-2)
    Sortie 1 : →0\rightarrow 0
    Entrée 2 : RésoudreSystème(−2k=−2/3, 3+k=10/3, 2−2k=4/3)(-2k=-2/3,\ 3+k=10/3,\ 2-2k=4/3)
    Sortie 2 : →k=1/3\rightarrow k = 1/3
    Entrée 3 : RacineCarrée((−2/3−1)2+(10/3−2)2+(4/3+1)2)\big((-2/3-1)^2+(10/3-2)^2+(4/3+1)^2\big)
    Sortie 3 : →\rightarrow RacineCarrée(10)(10)
    Entrée 4 : RacineCarrée((−2−0)2+(4−3)2+(0−2)2)\big((-2-0)^2+(4-3)^2+(0-2)^2\big)
    Sortie 4 : →3\rightarrow 3

    1. En utilisant les deux premiers résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, justifier que le point H est le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC).

    2. En exploitant les autres résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, déterminer le volume du tétraèdre ABCD.

      On rappelle que le volume V\mathcal{V} d'un tétraèdre est donné par V=13×B×h\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h, où B\mathcal{B} est l'aire d'une base du tétraèdre et hh la hauteur relative à cette base.

Voir le corrigé

Question 1. a) On calcule deux vecteurs du plan, coordonnée par coordonnée.

Avec A(1 ;2 ;−1)\mathrm{A}(1\,;2\,;-1), B(0 ;3 ;2)\mathrm{B}(0\,;3\,;2) et C(−2 ;4 ;0)\mathrm{C}(-2\,;4\,;0) :

AB→(0−13−22−(−1))=(−113),AC→(−2−14−20−(−1))=(−321).\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}0-1\\3-2\\2-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}-2-1\\4-2\\0-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\2\\1\end{pmatrix}.

Supposons qu'il existe un réel λ\lambda tel que AC→=λAB→\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\lambda\overrightarrow{\mathrm{AB}}.

La première coordonnée donne −3=−λ-3=-\lambda, soit λ=3\lambda=3, et la deuxième donne 2=λ×12=\lambda\times 1, soit λ=2\lambda=2 : c'est impossible.

Les vecteurs AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} ne sont donc pas colinéaires.

Donc les points A, B et C ne sont pas alignés : ils définissent un plan.

Question 1. b) On calcule les produits scalaires de n⃗(58−1)\vec{n}\begin{pmatrix}5\\8\\-1\end{pmatrix} avec les deux vecteurs précédents :

n⃗⋅AB→=5×(−1)+8×1+(−1)×3=−5+8−3=0,n⃗⋅AC→=5×(−3)+8×2+(−1)×1=−15+16−1=0.\begin{aligned} \vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}&=5\times(-1)+8\times 1+(-1)\times 3=-5+8-3=0,\\ \vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}&=5\times(-3)+8\times 2+(-1)\times 1=-15+16-1=0. \end{aligned}

Le vecteur n⃗\vec{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) (question 1. a)).

Donc n⃗\vec{n} est un vecteur normal au plan (ABC).

Question 1. c) Le plan (ABC) a pour vecteur normal n⃗(5 ;8 ;−1)\vec{n}(5\,;8\,;-1) : il admet une équation cartésienne de la forme

5x+8y−z+d=0,d∈R.5x+8y-z+d=0,\qquad d\in\mathbb{R}.

Le point A(1 ;2 ;−1)\mathrm{A}(1\,;2\,;-1) appartient au plan, donc :

5×1+8×2−(−1)+d=0  ⟺  5+16+1+d=0  ⟺  d=−22.5\times 1+8\times 2-(-1)+d=0\iff 5+16+1+d=0\iff d=-22.

Une équation cartésienne du plan (ABC) est donc 5x+8y−z−22=05x+8y-z-22=0.

Vérification avec les deux autres points : pour B, 0+24−2−22=00+24-2-22=0   pour C, −10+32−0−22=0-10+32-0-22=0.

Question 1. d) On remplace les coordonnées de D(8 ;2 ;−11)\mathrm{D}(8\,;2\,;-11) dans l'équation du plan :

5×8+8×2−(−11)−22=40+16+11−22=45.5\times 8+8\times 2-(-11)-22=40+16+11-22=45.

Comme 45≠045\neq 0, les coordonnées de D ne vérifient pas l'équation.

Donc le point D n'appartient pas au plan (ABC).

Question 2. a) La droite Δ\Delta est orthogonale au plan (ABC) : le vecteur normal n⃗(5 ;8 ;−1)\vec{n}(5\,;8\,;-1) est donc un vecteur directeur de Δ\Delta.

La droite Δ\Delta passe par D(8 ;2 ;−11)\mathrm{D}(8\,;2\,;-11).

Un point M(x ;y ;z)\mathrm{M}(x\,;y\,;z) appartient à Δ\Delta si et seulement si DM→=t n⃗\overrightarrow{\mathrm{DM}}=t\,\vec{n} pour un réel tt, soit :

{x=8+5ty=2+8tz=−11−t,t∈R.\begin{cases}x=8+5t\\y=2+8t\\z=-11-t\end{cases},\qquad t\in\mathbb{R}.

C'est bien la représentation paramétrique proposée.

Question 2. b) Le point E est le point commun à Δ\Delta et au plan (ABC) : ses coordonnées vérifient à la fois la représentation paramétrique et l'équation 5x+8y−z−22=05x+8y-z-22=0.

On substitue dans l'équation du plan :

5(8+5t)+8(2+8t)−(−11−t)−22=040+25t+16+64t+11+t−22=045+90t=0t=−12.\begin{aligned} 5(8+5t)+8(2+8t)-(-11-t)-22&=0\\ 40+25t+16+64t+11+t-22&=0\\ 45+90t&=0\\ t&=-\dfrac12. \end{aligned}

On reporte t=−12t=-\dfrac12 dans la représentation paramétrique :

x=8+5×(−12)=112,y=2+8×(−12)=−2,z=−11−(−12)=−212.x=8+5\times\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{11}{2},\qquad y=2+8\times\left(-\dfrac12\right)=-2,\qquad z=-11-\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac{21}{2}.

Donc E(112 ;−2 ;−212)\mathrm{E}\left(\dfrac{11}{2}\,;-2\,;-\dfrac{21}{2}\right).

Question 2. c) Le point E appartient au plan (ABC) et à la droite Δ\Delta orthogonale à ce plan passant par D : E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

La distance de D au plan (ABC) est donc la longueur DE.

Le vecteur DE→\overrightarrow{\mathrm{DE}} a pour coordonnées (112−8 ;−2−2 ;−212−(−11))=(−52 ;−4 ;12)\left(\dfrac{11}{2}-8\,;-2-2\,;-\dfrac{21}{2}-(-11)\right)=\left(-\dfrac52\,;-4\,;\dfrac12\right).

Donc :

DE=(−52)2+(−4)2+(12)2=254+16+14=904=902=3102.\mathrm{DE}=\sqrt{\left(-\dfrac52\right)^2+(-4)^2+\left(\dfrac12\right)^2}=\sqrt{\dfrac{25}{4}+16+\dfrac14}=\sqrt{\dfrac{90}{4}}=\dfrac{\sqrt{90}}{2}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}.

Donc la distance de D au plan (ABC) est DE=3102\mathrm{DE}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2} (≈4,74\approx 4{,}74).

Réponse : DE=3102\mathrm{DE}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}.

Question 3. a) Le vecteur u⃗(−2 ;1 ;−2)\vec{u}(-2\,;1\,;-2), formé des coefficients de kk dans la représentation paramétrique, est un vecteur directeur de la droite (BC).

Avec A(1 ;2 ;−1)\mathrm{A}(1\,;2\,;-1) et H(−23 ;103 ;43)\mathrm{H}\left(-\dfrac23\,;\dfrac{10}{3}\,;\dfrac43\right), on a :

AH→(−23−1103−243+1)=(−534373).\overrightarrow{\mathrm{AH}}\begin{pmatrix}-\dfrac23-1\\[1mm]\dfrac{10}{3}-2\\[1mm]\dfrac43+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac53\\[1mm]\dfrac43\\[1mm]\dfrac73\end{pmatrix}.

L'entrée 1 du logiciel calcule le produit scalaire AH→⋅u⃗\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\vec{u} :

(−23−1)×(−2)+(103−2)×1+(43−(−1))×(−2),\left(-\dfrac23-1\right)\times(-2)+\left(\dfrac{10}{3}-2\right)\times 1+\left(\dfrac43-(-1)\right)\times(-2),
et la sortie 1 est 00. Donc AH→⋅u⃗=0\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\vec{u}=0 : les vecteurs AH→\overrightarrow{\mathrm{AH}} et u⃗\vec{u} sont orthogonaux, c'est-à-dire que la droite (AH) est perpendiculaire à la droite (BC).

L'entrée 2 résout le système −2k=−23-2k=-\dfrac23, 3+k=1033+k=\dfrac{10}{3}, 2−2k=432-2k=\dfrac43, qui exprime que H appartient à (BC)   la sortie 2 donne k=13k=\dfrac13 : le système admet cette solution, donc H appartient à la droite (BC).

H est un point de (BC) tel que (AH) est orthogonale à (BC) : H est le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).

Question 3. b) Le tétraèdre ABCD a pour base le triangle ABC.

Hauteur du tétraèdre. D'après la question 2. c), D se projette orthogonalement sur le plan (ABC) en E : la hauteur du tétraèdre relative à la base ABC est

h=DE=3102.h=\mathrm{DE}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}.

Aire de la base. L'entrée 4 calcule BC=(−2−0)2+(4−3)2+(0−2)2\mathrm{BC}=\sqrt{(-2-0)^2+(4-3)^2+(0-2)^2}   la sortie 4 donne BC=3\mathrm{BC}=3.

L'entrée 3 calcule AH=(−23−1)2+(103−2)2+(43+1)2\mathrm{AH}=\sqrt{\left(-\dfrac23-1\right)^2+\left(\dfrac{10}{3}-2\right)^2+\left(\dfrac43+1\right)^2}   la sortie 3 donne AH=10\mathrm{AH}=\sqrt{10}.

Comme H est le projeté orthogonal de A sur (BC), AH est la hauteur du triangle ABC issue de A. Donc

B=AABC=12×BC×AH=12×3×10=3102.\mathcal{B}=\mathcal{A}_{\mathrm{ABC}}=\dfrac12\times\mathrm{BC}\times\mathrm{AH}=\dfrac12\times 3\times\sqrt{10}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}.

Volume. On applique la formule V=13×B×h\mathcal{V}=\dfrac13\times\mathcal{B}\times h :

V=13×3102×3102=13×9×104=13×904=152.\mathcal{V}=\dfrac13\times\dfrac{3\sqrt{10}}{2}\times\dfrac{3\sqrt{10}}{2}=\dfrac13\times\dfrac{9\times 10}{4}=\dfrac13\times\dfrac{90}{4}=\dfrac{15}{2}.

Donc le volume du tétraèdre ABCD est 152=7,5\dfrac{15}{2}=7{,}5 (en unités de volume).

Réponse : V=152\mathcal{V}=\dfrac{15}{2}.

Points clés attendus

  • Justifier que A, B, C définissent un plan par la non-colinéarité de deux vecteurs, en détaillant les coordonnées.

  • Pour le vecteur normal : deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires du plan   pour l'équation cartésienne : déterminer dd avec les coordonnées d'un point.

  • Pour montrer que D n'est pas dans le plan, substituer ses coordonnées et obtenir une valeur non nulle   pour E, substituer la représentation paramétrique dans l'équation du plan.

  • Interpréter les sorties du logiciel de calcul formel : orthogonalité de (AH) et (BC), appartenance de H à (BC), longueurs BC et AH.

  • Citer la formule du volume V=13×B×h\mathcal{V}=\dfrac13\times\mathcal{B}\times h en identifiant clairement la base ABC et la hauteur DE.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2026 (Polynésie, 16 juin 2026 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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