Bac 2026, Polynésie : exercice 2

Question 1. Affirmation 1 : fausse.

Pour tout réel $x$ :

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}=0$.

De plus, $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}=0$.

Par somme, on obtient :

La limite de $f$ en $+\infty$ est $0$ et non $+\infty$ : l'affirmation 1 est fausse.

Réponse : faux, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$.

Question 2. Affirmation 2 : vraie.

Une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.

La fonction $g:x\mapsto x\mathrm{e}^x$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables.

On dérive avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$, où $u(x)=x$ et $v(x)=\mathrm{e}^x$ :

On dérive à nouveau, avec $u(x)=x+1$ et $v(x)=\mathrm{e}^x$ :

Pour tout $x\in[-2\,;+\infty[$, on a $x+2\geqslant 0$, et $\mathrm{e}^x>0$ pour tout réel $x$.

Donc $g''(x)\geqslant 0$ sur $[-2\,;+\infty[$.

La fonction $g$ est donc convexe sur $[-2\,;+\infty[$ : l'affirmation 2 est vraie.

Réponse : vrai, car $g''(x)=(x+2)\mathrm{e}^x\geqslant 0$ sur $[-2\,;+\infty[$.

Question 3. Affirmation 3 : fausse.

On effectue l'intégration par parties $\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x=\Big[u(x)v(x)\Big]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x$, avec :

Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $[0\,;\pi]$, de dérivées continues : l'intégration par parties s'applique.

On obtient :

L'intégrale vaut $\pi$ et non $-\pi$ : l'affirmation 3 est fausse.

Réponse : faux, $\displaystyle\int_0^{\pi}x\sin x\,\mathrm{d}x=\pi$.

Question 4. Affirmation 4 : vraie.

L'équation $(E)$ s'écrit $y'=2y-5$, soit $y'=ay+b$ avec $a=2$ et $b=-5$.

Ses solutions sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{2x}+\dfrac52$ avec $C\in\mathbb{R}$ (la fonction constante $\dfrac52$ est solution particulière, car $0=2\times\dfrac52-5$).

On vérifie que $h$ est solution : $h(x)=-\dfrac32\mathrm{e}^{2x}+\dfrac52$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et

D'autre part :

Donc $h'(x)=2h(x)-5$ pour tout réel $x$ : la fonction $h$ est solution de $(E)$.

On calcule ensuite $h(0)$ :

La solution de $(E)$ qui vaut $1$ en $0$ est unique (la condition $C+\dfrac52=1$ détermine $C=-\dfrac32$), et $h$ en est une : c'est donc $h$.

L'affirmation 4 est vraie.

Réponse : vrai, car $h$ est solution de $(E)$ et $h(0)=1$.

Question 5. Affirmation 5 : vraie.

La fonction mystere(n) initialise $f$ à $1$, puis, pour $k$ allant de $1$ à $n$, remplace $f$ par $f\times k$.

Elle renvoie donc le produit $1\times 2\times\cdots\times n=n\,!$.

Pour $n=5$, la boucle for k in range(1, 6) s'exécute pour $k=1{,}2,3{,}4,5$ et la variable $f$ prend successivement les valeurs :

Donc mystere(5) renvoie $120$ (c'est $5\,!$) : l'affirmation 5 est vraie.

Réponse : vrai, mystere(5) renvoie $120$.

Points clés attendus

• Chaque affirmation exige la valeur de vérité et une justification : calcul de limite, de dérivée, d'intégrale ou trace d'exécution.

• Question 1 : lever la forme indéterminée en séparant la somme et en citant les croissances comparées.

• Question 2 : relier convexité et signe de la dérivée seconde, calculer $g''$ sans erreur et justifier le signe de $x+2$ et de $\mathrm{e}^x$.

• Question 3 : poser $u$, $v'$, $u'$, $v$ avant d'appliquer la formule d'intégration par parties, puis évaluer les crochets avec soin.

• Question 4 : vérifier l'équation différentielle et la condition initiale, puis invoquer l'unicité de la solution.

• Question 5 : suivre les valeurs successives de la variable $f$ dans la boucle.

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