Bac 2026, Polynésie : exercice 1

Partie A

Question 1. On traduit les données de l'énoncé en probabilités.

Les planches en mousse représentent $80\,\%$ du stock, donc :

Parmi les planches en mousse, $75\,\%$ sont en bon état et les autres sont recyclées :

Parmi les planches en résine, $60\,\%$ sont en bon état :

Les deux autres branches issues de $\overline{M}$ sont complétées à la question 2 :

Donc l'arbre est complété avec ces probabilités : les branches de $M$ portent $0{,}75$ ($B$) et $0{,}25$ ($R$), celles de $\overline{M}$ portent $0{,}6$ ($B$), $0{,}25$ ($R$) et $0{,}15$ ($C$).

Question 2. a) L'évènement $\overline{M}\cap R$ est : « la planche est en résine et elle sera recyclée ».

Donc $P\left(\overline{M}\cap R\right)=0{,}05$ signifie que, lorsqu'on choisit une planche au hasard dans le stock, la probabilité qu'elle soit en résine et recyclée est $0{,}05$.

Autrement dit, $5\,\%$ des planches du stock sont des planches en résine qui seront recyclées.

Question 2. b) Les planches en résine sont les planches de l'évènement $\overline{M}$.

D'après la formule des probabilités conditionnelles :

Une planche en résine est dans l'un des trois états, deux à deux incompatibles : bon état, recyclée ou consolidée. Les évènements $B$, $R$ et $C$ forment donc une partition de l'univers, et les probabilités des branches issues de $\overline{M}$ ont pour somme $1$.

Ainsi :

Donc, sachant qu'on a choisi une planche en résine, la probabilité qu'elle soit consolidée pour la saison suivante est $0{,}15$.

Réponse : $P_{\overline{M}}(C)=0{,}15$.

Question 3. Les évènements $M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers (les planches sont en mousse ou en résine, et pas les deux).

D'après la formule des probabilités totales :

Or $\dfrac34=0{,}75$ et $0{,}72<0{,}75$.

Donc la gérante a tort : après une saison, seulement $72\,\%$ des planches sont en bon état, ce qui est inférieur à $\dfrac34$.

Réponse : $P(B)=0{,}72<\dfrac34$ : la gérante n'a pas raison.

Partie B

Question 1. L'urne contient $5$ boules noires et $n$ boules rouges, soit $n+5$ boules au total.

Le client tire simultanément deux boules, et les boules sont indiscernables au toucher : tous les tirages possibles de deux boules sont équiprobables.

Le nombre de tirages possibles est le nombre de façons de choisir $2$ boules parmi $n+5$ : $\dbinom{n+5}{2}$.

Le client gagne s'il obtient deux boules de même couleur, c'est-à-dire :

• deux boules noires : $\dbinom52$ tirages

• ou deux boules rouges : $\dbinom n2$ tirages.

Ces deux cas sont incompatibles, donc le nombre de tirages gagnants est $\dbinom52+\dbinom n2$.

Par équiprobabilité, la probabilité de gagner est le quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles :

Question 2. On a :

On remplace dans l'expression de $p$ :

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $2$ :

Donc $p=\dfrac{20+n(n-1)}{(n+5)(n+4)}$.

Question 3. On cherche les entiers naturels $n$ tels que $p<\dfrac12$.

Comme $(n+5)(n+4)>0$, on peut multiplier les deux membres par $2(n+5)(n+4)$ sans changer le sens de l'inégalité :

Le trinôme $n^2-11n+20$ a pour discriminant $\Delta=(-11)^2-4\times 1\times 20=121-80=41>0$.

Ses racines sont :

Le coefficient de $n^2$ est positif : le trinôme est strictement négatif entre ses racines.

Les entiers naturels $n$ tels que $2{,}30<n<8{,}70$ sont $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ et $8$.

Donc, pour que la probabilité de gagner soit strictement inférieure à $\dfrac12$, la gérante doit mettre entre $3$ et $8$ boules rouges dans l'urne.

Réponse : $n\in\{3\,;4\,;5\,;6\,;7\,;8\}$.

Points clés attendus

• Traduire les données en probabilités conditionnelles et nommer la formule $P_{\overline{M}}(R)=\dfrac{P\left(\overline{M}\cap R\right)}{P\left(\overline{M}\right)}$.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{M\,;\overline{M}\}$, puis comparer $0{,}72$ à $\dfrac34$ pour répondre à la gérante.

• Justifier le dénombrement : tirage simultané de deux boules, équiprobabilité, cas « deux noires » et « deux rouges » incompatibles.

• Développer $\dbinom n2$ et $\dbinom{n+5}{2}$ avec soin pour obtenir la forme demandée.

• Résoudre l'inéquation du second degré, puis conserver uniquement les entiers naturels $n$ de l'intervalle obtenu.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.