Bac 2026, Métropole : exercice 1

Partie A

Traduction des données de l'énoncé en probabilités :

Question 1.

D'après la formule des probabilités composées (définition de la probabilité conditionnelle),

Donc la probabilité que la livraison soit effectuée par un livreur expérimenté et que le délai soit respecté est $0{,}57$.

Réponse : $P(E\cap R)=0{,}57$.

Question 2.

Les évènements $E$ et $\overline E$ sont incompatibles et leur réunion est l'univers : ils forment une partition de l'univers, avec $P(E)\neq0$ et $P\left(\overline E\right)\neq0$.

D'après la formule des probabilités totales,

On calcule

Donc

Interprétation : pour une livraison choisie au hasard dans cette entreprise, la probabilité que le délai soit respecté est $0{,}87$, c'est-à-dire que $87\,\%$ des livraisons de l'entreprise respectent le délai.

Question 3.

On cherche la probabilité qu'un colis ait été livré par un livreur expérimenté sachant que le délai a été respecté, c'est-à-dire $P_R(E)$.

Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(R)=0{,}87\neq0$),

Arrondie à $10^{-1}$ près, cette probabilité vaut $0{,}7$.

Donc, sachant qu'un colis a été livré dans les délais, la probabilité qu'il ait été livré par un livreur expérimenté est environ $0{,}7$.

Réponse : $P_R(E)=\dfrac{0{,}57}{0{,}87}\approx0{,}655$, soit $0{,}7$ à $10^{-1}$ près.

Partie B

Question 1.

L'examen d'une livraison effectuée par un livreur expérimenté est une épreuve de Bernoulli : le succès est « le délai est respecté », de probabilité $p=0{,}95$.

L'échantillon de $200$ livraisons est assimilé à des tirages successifs avec remise : les $200$ épreuves sont identiques et indépendantes.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès parmi ces $200$ épreuves.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0{,}95$ : $X\sim\mathcal B(200\,;0{,}95)$.

Question 2.

L'évènement « tous les colis ont été livrés en respectant les délais » est l'évènement $\{X=200\}$.

On calcule

Cette probabilité est strictement positive.

Donc l'évènement n'est pas impossible : sa probabilité est très faible, mais elle n'est pas nulle.

Question 3.

À la calculatrice, on obtient

Arrondie à $10^{-1}$ près, cette probabilité vaut $0{,}6$.

Interprétation : sur un échantillon de $200$ livraisons effectuées par un livreur expérimenté, la probabilité qu'au moins $190$ colis soient livrés dans les délais est d'environ $0{,}6$ (soit $58\,\%$ avec la valeur non arrondie).

Réponse : $P(X\geqslant190)\approx0{,}583$, soit $0{,}6$ à $10^{-1}$ près.

Partie C

Question 1.

Pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal B(n\,;p)$, on a $E=np$ et $V=np(1-p)$.

Pour $X_A\sim\mathcal B(120\,;0{,}85)$ :

Pour $X_B\sim\mathcal B(80\,;0{,}90)$ :

Réponse : $E(X_A)=102$, $V(X_A)=15{,}3$, $E(X_B)=72$, $V(X_B)=7{,}2$.

Question 2.

Par linéarité de l'espérance,

Réponse : $E(S)=174$.

Question 3.

Pour deux variables aléatoires indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances.

Si les variables $X_A$ et $X_B$ sont indépendantes, alors

Cette condition est vérifiée ici : les livraisons dans une zone n'ont pas d'incidence sur celles de l'autre.

Donc la condition qui permet d'affirmer que $V(S)=22{,}5$ est l'indépendance des variables aléatoires $X_A$ et $X_B$.

Réponse : $X_A$ et $X_B$ indépendantes.

Question 4.

On a $E(S)=174$ et $V(S)=22{,}5$.

L'intervalle $[165\,;183]$ est l'ensemble des réels $s$ tels que $|s-174|\leqslant9$, car $174-9=165$ et $174+9=183$.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à $S$ (variable aléatoire d'espérance $174$ et de variance $22{,}5$) : pour tout réel $a>0$,

Avec $a=9$ :

L'évènement $\{|S-174|<9\}$ est le contraire de $\{|S-174|\geqslant9\}$, donc

L'évènement $\{|S-174|<9\}$ est inclus dans l'évènement $\{165\leqslant S\leqslant183\}$, donc

Arrondie à $10^{-1}$ près, cette minoration est $0{,}7$.

Interprétation : sur ces $200$ livraisons, la probabilité que le nombre total de colis livrés dans les délais soit compris entre $165$ et $183$ est supérieure ou égale à $\dfrac{13}{18}$, soit environ $72\,\%$.

Réponse : $P(S\in[165\,;183])\geqslant\dfrac{13}{18}\approx0{,}7$.

Points clés attendus

• Partie A : nommer les évènements, traduire les pourcentages en probabilités conditionnelles, citer la partition $\{E\,;\overline E\}$ pour la formule des probabilités totales.

• Distinguer $P_E(R)$ et $P_R(E)$   arrondir $P_R(E)$ comme demandé ($10^{-1}$ près).

• Loi binomiale : justifier par la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirages avec remise) et donner $n$ et $p$.

• Un évènement de probabilité très faible n'est pas impossible : calculer $0{,}95^{200}$.

• Variance d'une somme : l'indépendance de $X_A$ et $X_B$ est la condition à énoncer.

• Bienaymé-Tchebychev : écrire $[165\,;183]$ sous la forme $|S-E(S)|\leqslant9$, utiliser l'évènement contraire, et interpréter la minoration.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.