Bac 2026, Métropole : exercice 4

Partie A

Question 1. a)

La courbe $\mathcal C_f$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point C d'abscisse $1$.

Le coefficient directeur de cette tangente est $f'(1)$, et une droite parallèle à l'axe des abscisses a un coefficient directeur nul.

Donc $f'(1)=0$.

Réponse : $f'(1)=0$.

Question 1. b)

Les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont les abscisses des points d'intersection de $\mathcal C_f$ avec l'axe des abscisses.

Sur l'intervalle $[0\,;3]$, la courbe coupe l'axe des abscisses en un seul point, le point A$\left(\dfrac12\,;0\right)$   elle est strictement en dessous de l'axe pour $x<\dfrac12$ et strictement au-dessus pour $x>\dfrac12$.

Donc l'équation $f(x)=0$ admet pour unique solution $x=\dfrac12$ sur $[0\,;3]$.

Réponse : $x=\dfrac12$.

Question 2.

Le nombre dérivé $f'\left(\dfrac12\right)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_{\mathrm A}$ à $\mathcal C_f$ au point A d'abscisse $\dfrac12$.

La droite $T_{\mathrm A}$ passe par les points A$\left(\dfrac12\,;0\right)$ et B$\left(1\,;\mathrm{e}^2\right)$, dont les abscisses sont différentes : son coefficient directeur est

Donc $f'\left(\dfrac12\right)=2\,\mathrm{e}^2$.

Réponse : $f'\left(\dfrac12\right)=2\,\mathrm{e}^2\approx14{,}78$.

Question 3.

Réponse : les courbes $\mathcal C_1$ et $\mathcal C_2$ représentent des primitives de $f$.

Soit $F$ une primitive de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ : on a $F'=f$.

D'après la partie A, $f(x)<0$ pour $x\in\left[0\,;\dfrac12\right[$, $f\left(\dfrac12\right)=0$ et $f(x)>0$ pour $x>\dfrac12$.

Donc $F'$ est strictement négative sur $\left[0\,;\dfrac12\right[$ et strictement positive sur $\left]\dfrac12\,;+\infty\right[$ : la fonction $F$ est strictement décroissante sur $\left[0\,;\dfrac12\right]$, puis strictement croissante sur $\left[\dfrac12\,;+\infty\right[$.

La courbe de $F$ admet donc un minimum pour $x=\dfrac12$, avec une tangente horizontale en ce point.

Les courbes $\mathcal C_1$ et $\mathcal C_2$ vérifient cette description : elles décroissent jusqu'à l'abscisse $\dfrac12$, puis croissent.

La courbe $\mathcal C_3$ décroît jusqu'à une abscisse voisine de $0{,}9$ : elle est encore décroissante sur des valeurs de $x$ supérieures à $\dfrac12$, où $f$ est strictement positive. Ce n'est pas possible pour une primitive de $f$.

Donc $\mathcal C_3$ n'est pas la courbe d'une primitive de $f$.

Vérification par le calcul : la fonction $G:x\longmapsto-x\,\mathrm{e}^{-2x+3}$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ et

Les primitives de $f$ sont donc les fonctions $x\longmapsto-x\,\mathrm{e}^{-2x+3}+c$, avec $c\in\mathbb{R}$, c'est-à-dire les translatées verticales de $G$.

Les courbes $\mathcal C_1$ et $\mathcal C_2$ correspondent à $c=\mathrm{e}+1$ et $c=\mathrm{e}-1$. La courbe $\mathcal C_3$ n'est pas une translatée verticale de $\mathcal C_2$ : elle a le même comportement en $+\infty$ mais son minimum n'est pas atteint pour la même abscisse.

Donc les primitives de $f$ sont représentées par $\mathcal C_1$ et $\mathcal C_2$.

Partie B

Question 1. a)

Pour tout réel $x\geqslant0$, on a $-2x+3=2-(2x-1)$.

Donc

On en déduit

Donc, pour tout $x\in[0\,;+\infty[$, $f(x)=\mathrm{e}^{2}\times\dfrac{2x-1}{\mathrm{e}^{2x-1}}$.

Question 1. b)

On pose $X=2x-1$.

Quand $x$ tend vers $+\infty$, $X=2x-1$ tend vers $+\infty$.

D'après la question 1. a), $f(x)=\mathrm{e}^{2}\times\dfrac{X}{\mathrm{e}^{X}}$.

Par croissances comparées, $\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{X}{\mathrm{e}^{X}}=0$.

Par limite d'une composée, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x-1}{\mathrm{e}^{2x-1}}=0$.

Donc, en multipliant par la constante $\mathrm{e}^2$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$. La courbe $\mathcal C_f$ admet l'axe des abscisses pour asymptote horizontale en $+\infty$.

Question 2. a)

La fonction $f$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables : $u:x\longmapsto2x-1$ et $w:x\longmapsto\mathrm{e}^{-2x+3}$.

On a $u'(x)=2$.

La fonction $w$ est de la forme $\mathrm{e}^{g}$ avec $g(x)=-2x+3$, donc $w'(x)=g'(x)\,\mathrm{e}^{g(x)}=-2\,\mathrm{e}^{-2x+3}$.

D'après la formule $(uw)'=u'w+uw'$, pour tout $x\geqslant0$ :

On factorise par $\mathrm{e}^{-2x+3}$ :

Donc, pour tout $x\in[0\,;+\infty[$, $f'(x)=(-4x+4)\,\mathrm{e}^{-2x+3}$.

Question 2. b)

Pour tout $x\geqslant0$, $\mathrm{e}^{-2x+3}>0$.

Donc $f'(x)$ a le même signe que $-4x+4$.

On a $-4x+4>0\iff x<1$ et $-4x+4=0\iff x=1$.

Donc $f'(x)>0$ sur $[0\,;1[$, $f'(1)=0$ et $f'(x)<0$ sur $]1\,;+\infty[$.

On calcule les valeurs utiles :

On a aussi $f\left(\dfrac12\right)=0$ et, d'après la question 1. b), $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$.

Tableau de variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ :

• sur $[0\,;1]$, $f$ est strictement croissante, de $f(0)=-\mathrm{e}^3$ à $f(1)=\mathrm{e}$

• sur $[1\,;+\infty[$, $f$ est strictement décroissante, de $f(1)=\mathrm{e}$ vers $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$

• $f$ admet donc un maximum en $x=1$, égal à $\mathrm{e}$.

Question 3.

Le contour du logo est formé de la courbe de $f$ sur $[0{,}5\,;\alpha]$ et de son image par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

Sur $[0{,}5\,;\alpha]$, on a $f\geqslant0$, donc la courbe de $f$ est au-dessus de l'axe des abscisses et son symétrique en dessous.

Au bord droit du logo, d'abscisse $\alpha$, la hauteur est la distance entre les points $(\alpha\,;f(\alpha))$ et $(\alpha\,;-f(\alpha))$, soit $2f(\alpha)$.

La contrainte imposée par le client est que cette hauteur vaut $0{,}3$ cm :

On montre que l'équation $f(x)=0{,}15$ admet une unique solution dans $[1\,;+\infty[$.

Sur $[1\,;+\infty[$ :

• $f$ est continue (car dérivable)

• $f$ est strictement décroissante (question 2. b)

• $f(1)=\mathrm{e}\approx2{,}72$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$, donc $f$ prend toutes les valeurs de l'intervalle $]0\,;\mathrm{e}]$.

Or $0{,}15\in\,]0\,;\mathrm{e}]$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour une fonction continue et strictement monotone), l'équation $f(x)=0{,}15$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1\,;+\infty[$.

Pour donner une valeur approchée, on calcule à la calculatrice :

Comme $f$ est strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$, on en déduit $3{,}3<\alpha<3{,}35$.

Donc $\alpha$ a pour valeur approchée $3{,}3$ au dixième (la calculatrice donne $\alpha\approx3{,}312$).

Réponse : $f(\alpha)=0{,}15$   $\alpha$ est unique dans $[1\,;+\infty[$ et $\alpha\approx3{,}3$.

Partie C

Question 1.

On pose, pour $x\in[0{,}5\,;3{,}3]$ :

d'où

Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $[0{,}5\,;3{,}3]$, de dérivées $u'$ et $v'$ continues : l'intégration par parties s'applique.

On a

On remplace :

Une primitive de $x\longmapsto\mathrm{e}^{-2x+3}$ est $x\longmapsto-\dfrac12\,\mathrm{e}^{-2x+3}$, donc

En effet $-\dfrac{2x-1}{2}-\dfrac12=\dfrac{-2x+1-1}{2}=-x$.

On calcule les bornes :

À la calculatrice, $I\approx3{,}604$.

Donc l'intégrale $I$, arrondie au dixième, est égale à $3{,}6$.

Réponse : $I=\dfrac{\mathrm{e}^2}{2}-3{,}3\,\mathrm{e}^{-3{,}6}\approx3{,}604$, soit $3{,}6$ au dixième.

Question 2.

Sur l'intervalle $[0{,}5\,;3{,}3]$, la fonction $f$ est positive (elle s'annule en $0{,}5$ et est strictement positive ensuite).

Donc l'aire du domaine situé entre $\mathcal C_f$ et l'axe des abscisses est $I$ (en cm$^2$, l'unité étant le centimètre).

Le logo est la réunion de ce domaine et de son symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

Donc l'aire du logo est

Le volume du porte-clé est le produit de l'aire du logo par l'épaisseur $0{,}2$ cm de la plaque :

Donc le volume du porte-clé est environ $1{,}4\ \mathrm{cm}^3$, arrondi au dixième.

Réponse : $V=0{,}4\,I\approx1{,}4\ \mathrm{cm}^3$.

Points clés attendus

• Partie A : lire graphiquement $f'(1)=0$ (tangente horizontale) et calculer $f'\left(\tfrac12\right)$ comme coefficient directeur de la droite (AB).

• Primitives : relier le signe de $f$ aux variations d'une primitive (minimum en $\tfrac12$) et justifier le rejet de $\mathcal C_3$.

• Limite en $+\infty$ : poser $X=2x-1$ et citer les croissances comparées après avoir transformé $f$.

• Dérivée : formule du produit et dérivée de $\mathrm{e}^{-2x+3}$   signe de $f'$ par celui de $-4x+4$   tableau de variations complet.

• Équation $f(\alpha)=0{,}15$ : traduire la contrainte (hauteur $2f(\alpha)$), puis citer le théorème des valeurs intermédiaires avec continuité, stricte monotonie et valeurs aux bornes.

• Intégration par parties avec $u$ et $v'$ clairement posés   aire du logo égale à $2I$, volume égal à l'aire fois l'épaisseur.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.