Bac 2026, Antilles-Guyane : exercice 4

Partie A

Question 1. La fonction $F_2$ est une primitive de $f_2$ sur $]0\,;+\infty[$, donc $F_2'=f_2$.

Les variations de $F_2$ se déduisent donc du signe de $f_2$, que l'on lit sur la courbe $\mathcal{C}_2$.

Graphiquement, la courbe $\mathcal{C}_2$ coupe l'axe des abscisses en deux points, d'abscisses environ $0{,}3$ et $2{,}5$.

On lit alors :

• $f_2(x)<0$ sur $]0\,;0{,}3[$

• $f_2(x)>0$ sur $]0{,}3\,;2{,}5[$

• $f_2(x)<0$ sur $]2{,}5\,;3]$.

Une fonction dont la dérivée est négative est décroissante, et une fonction dont la dérivée est positive est croissante.

Donc, avec la précision permise par le graphique, la fonction $F_2$ est décroissante sur $]0\,;0{,}3]$, croissante sur $[0{,}3\,;2{,}5]$, puis décroissante sur $[2{,}5\,;3]$.

Question 2. On commence par traduire graphiquement ce que représentent $f_2'$ et $f_2''$ : $f_2'$ donne les variations de $f_2$, et $f_2''$ donne les variations de $f_2'$.

Identification de $f_2'$.

Sur $\mathcal{C}_2$, la fonction $f_2$ est croissante sur $]0\,;0{,}75]$ environ, puis décroissante sur $[0{,}75\,;3]$.

Donc $f_2'$ est positive sur $]0\,;0{,}75[$ environ, puis négative ensuite.

La courbe 1 a exactement ce comportement : elle est au-dessus de l'axe des abscisses pour $x$ inférieur à $0{,}75$ environ, puis en dessous.

La courbe 2 est positive seulement pour $x>1{,}65$ environ, alors que $\mathcal{C}_2$ est décroissante en ces abscisses : elle ne peut pas représenter $f_2'$.

La courbe 3 est négative avant $x=2{,}5$ environ, alors que $\mathcal{C}_2$ est croissante sur $]0\,;0{,}75]$ environ : elle ne peut pas non plus représenter $f_2'$.

De plus, la tangente $T_2$ en A a une pente négative d'environ $-1{,}4$, et la courbe 1 atteint un minimum d'environ $-1{,}4$ pour $x\approx 1{,}65$, abscisse de A.

Donc la courbe 1 représente $f_2'$.

Identification de $f_2''$.

Le point A est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_2$ : en A, $f_2''$ s'annule en changeant de signe, et $f_2'$ y admet un extremum.

D'après la courbe 1, $f_2'$ est décroissante puis croissante, avec un minimum pour $x\approx 1{,}65$.

Donc $f_2''$ est négative avant $1{,}65$ environ, nulle en $1{,}65$, puis positive après.

La courbe 2 a exactement ce comportement : elle est négative, s'annule pour $x\approx 1{,}65$, puis devient positive.

La courbe 3 s'annule pour $x\approx 2{,}5$ et non pour $x\approx 1{,}65$ : elle ne convient pas pour $f_2''$.

Donc la courbe 2 représente $f_2''$.

Réponse : $f_2'$ est représentée par la courbe 1 et $f_2''$ par la courbe 2.

Partie B

Question 1. a) La fonction $f_1$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$.

On écrit $f_1(x)=1-x+\dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x)=1+\ln x$ et $v(x)=x$, soit $u'(x)=\dfrac1x$ et $v'(x)=1$.

La formule de dérivation d'un quotient $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ donne, pour tout $x>0$ :

Donc, pour tout réel $x>0$ : $f_1'(x)=-1-\dfrac{\ln x}{x^2}$.

Question 1. b) On a $\dfrac{\ln x}{x^2}=\dfrac{\ln x}{x}\times\dfrac1x$.

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$, et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$.

Par produit, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0$.

Par somme, on obtient :

Donc $f_1'(x)$ tend vers $-1$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f_1'(x)=-1$.

Question 2. a) On admet que, pour tout $x>0$, $f_1''(x)=\dfrac{2\ln x-1}{x^3}$.

Comme $x^3>0$ pour $x>0$, le signe de $f_1''(x)$ est celui de $2\ln x-1$.

On résout :

car la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Donc :

• $f_1''(x)<0$ sur $]0\,;\mathrm{e}^{1/2}[$ : la fonction $f_1'$ est strictement décroissante sur $]0\,;\mathrm{e}^{1/2}]$

• $f_1''(x)>0$ sur $]\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty[$ : la fonction $f_1'$ est strictement croissante sur $[\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty[$.

La fonction $f_1'$ admet donc un minimum en $\mathrm{e}^{1/2}$. On calcule sa valeur, avec $\ln\left(\mathrm{e}^{1/2}\right)=\dfrac12$ et $\left(\mathrm{e}^{1/2}\right)^2=\mathrm{e}$ :

Donc $f_1'$ est strictement décroissante sur $]0\,;\mathrm{e}^{1/2}]$, puis strictement croissante sur $[\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty[$, et son minimum vaut $-1-\dfrac{1}{2\mathrm{e}}$.

Question 2. b) Lorsque $x\to 0^+$, on a $\ln x\to-\infty$ et $x^2\to 0^+$.

Par quotient, $\dfrac{\ln x}{x^2}\to-\infty$.

Donc $-\dfrac{\ln x}{x^2}\to+\infty$, et par somme :

Cette limite est cohérente avec l'asymptote verticale (l'axe des ordonnées) admise pour la courbe de $f_1'$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to 0^+}f_1'(x)=+\infty$.

Question 2. c) Existence. Sur l'intervalle $]0\,;\mathrm{e}^{1/2}]$, la fonction $f_1'$ est :

• continue (elle est dérivable puisque $f_1$ est deux fois dérivable)

• strictement décroissante, d'après la question 2. a)

• de limite $+\infty$ en $0$ et de valeur $-1-\dfrac{1}{2\mathrm{e}}<0$ en $\mathrm{e}^{1/2}$, donc elle prend des valeurs strictement positives puis une valeur strictement négative, et $0$ est compris entre ces deux valeurs.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (version pour une fonction continue et strictement monotone), l'équation $f_1'(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;\mathrm{e}^{1/2}]$.

Pas d'autre solution. Sur $[\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty[$, la fonction $f_1'$ est strictement croissante et tend vers $-1$ en $+\infty$.

Elle reste donc strictement inférieure à sa limite : $f_1'(x)<-1<0$ pour tout $x\geqslant\mathrm{e}^{1/2}$.

L'équation $f_1'(x)=0$ n'a donc aucune solution sur $[\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty[$.

Donc l'équation $f_1'(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0\,;+\infty[$.

Maximum de $f_1$. Comme $f_1'$ est strictement décroissante sur $]0\,;\mathrm{e}^{1/2}]$ et s'annule en $\alpha$, on a $f_1'(x)>0$ sur $]0\,;\alpha[$ et $f_1'(x)<0$ sur $]\alpha\,;\mathrm{e}^{1/2}]$.

Sur $[\mathrm{e}^{1/2}\,;+\infty[$, on a $f_1'(x)<0$.

Ainsi $f_1'>0$ sur $]0\,;\alpha[$ et $f_1'<0$ sur $]\alpha\,;+\infty[$.

La fonction $f_1$ est donc strictement croissante sur $]0\,;\alpha]$, puis strictement décroissante sur $[\alpha\,;+\infty[$.

Donc $f_1$ admet un maximum sur $]0\,;+\infty[$, atteint en $\alpha$.

Question 2. d) La fonction d représente $f_1'$. On part de $u=0{,}5$, valeur pour laquelle $d(0{,}5)>0$, donc $u<\alpha$.

Tant que $d(u)>0$, on a $u<\alpha$ (puisque $f_1'>0$ sur $]0\,;\alpha[$) : on avance d'un pas de $0{,}01$ pour obtenir la précision demandée.

Le programme complété est :

def d(x) :
    return -1-ln(x)/x**2

def alpha() :
    u = 0.5
    while d(u) > 0 :
        u = u + 0.01
    return u

La boucle s'arrête dès que $d(u)\leqslant 0$, c'est-à-dire pour le premier $u$ de la suite $0{,}5\,;0{,}51\,;0{,}52\,;\dots$ tel que $u\geqslant\alpha$.

Le programme renvoie donc un réel $u$ vérifiant $\alpha\leqslant u<\alpha+0{,}01$.

Ici, $d(0{,}65)\approx 0{,}020>0$ et $d(0{,}66)\approx-0{,}046<0$, donc la fonction renvoie $0{,}66$, valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près (on a $0{,}65<\alpha<0{,}66$, avec $\alpha\approx 0{,}653$).

Réponse : instruction while d(u) > 0 : puis u = u + 0.01   la fonction renvoie $0{,}66$.

Partie C

Question 1. La fonction $H=\dfrac12 u^2$ avec $u(x)=1+\ln x$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, et $u'(x)=\dfrac1x$.

La formule de dérivation d'une composée $(u^2)'=2u'u$ donne, pour tout $x>0$ :

Donc $H'=h$ sur $]0\,;+\infty[$ : la fonction $H$ est une primitive de $h$ sur $]0\,;+\infty[$.

Question 2. On commence par écrire $f_k$ à l'aide de $h$ : pour tout $x>0$,

Une primitive de $x\mapsto 1-x$ est $x\mapsto x-\dfrac{x^2}{2}$, et, d'après la question 1, une primitive de $k\,h$ est $k\,H$.

Une primitive de $f_k$ est donc $x\mapsto x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac k2(1+\ln x)^2$.

On calcule l'intégrale, avec $\ln\mathrm{e}=1$ et $\ln 1=0$ :

La valeur moyenne de $f_k$ sur $[1\,;\mathrm{e}]$ est

Comme $\mathrm{e}-1\neq 0$, on a :

On a $\dfrac{(\mathrm{e}-1)^2}{3}\approx 0{,}984>0$, donc cette valeur est bien un réel strictement positif, comme l'exige l'énoncé.

Donc il existe une valeur de $k$ pour laquelle la valeur moyenne de $f_k$ sur $[1\,;\mathrm{e}]$ est égale à $0$ : c'est $k=\dfrac{(\mathrm{e}-1)^2}{3}$.

Réponse : oui, $k=\dfrac{(\mathrm{e}-1)^2}{3}\approx 0{,}984$.

Points clés attendus

• Partie A : une primitive a pour dérivée la fonction elle-même, donc ses variations se lisent sur le signe de $f_2$   pour $f_2'$ et $f_2''$, utiliser les variations de $f_2$ et de $f_2'$ ainsi que le point d'inflexion A.

• Partie B : détailler la dérivée du quotient, citer les croissances comparées, et justifier le signe de $f_1''$ pour obtenir les variations de $f_1'$.

• Question B 2. c) : citer le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue strictement monotone en vérifiant les signes aux bornes, traiter aussi l'intervalle où $f_1'$ est négative, puis conclure sur le maximum de $f_1$.

• Question B 2. d) : compléter la condition de boucle et le pas, et justifier la valeur renvoyée par l'encadrement de $\alpha$.

• Partie C : vérifier $H'=h$, puis calculer l'intégrale en détaillant les bornes et ne pas oublier de diviser par $\mathrm{e}-1$ pour la valeur moyenne.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.