Bac 2026, Polynésie : exercice 4

Affirmation 1. Vraie.

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit et composée de fonctions dérivables. On dérive avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$, où $u(x)=x$ et $v(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}$, avec $v'(x)=2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$ (dérivée de $\mathrm{e}^{w}$ avec $w(x)=x^{2}$).

Pour tout réel $x$ :

On dérive de nouveau avec la même formule, où $u(x)=1+2x^{2}$ et $v(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}$ :

Pour $x\leqslant 0$ : $2x\leqslant 0$, $3+2x^{2}>0$ et $\mathrm{e}^{x^{2}}>0$. Donc $f''(x)\leqslant 0$ sur $]-\infty\,;0]$.

Une fonction dont la dérivée seconde est négative sur un intervalle est concave sur cet intervalle.

Donc $f$ est concave sur $]-\infty\,;0]$ : l'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. Vraie.

Les groupes sont numérotés : choisir une répartition revient à choisir successivement le contenu du groupe 1, puis celui du groupe 2, le groupe 3 étant alors imposé par les rapaces restants.

On choisit les $8$ rapaces du groupe 1 parmi $24$ : $\dbinom{24}{8}$ façons.

On choisit ensuite les $8$ rapaces du groupe 2 parmi les $16$ restants : $\dbinom{16}{8}$ façons.

Les $8$ rapaces restants forment le groupe 3 : $\dbinom{8}{8}=1$ façon.

Le nombre de répartitions est donc

Les groupes étant numérotés, on ne divise pas par $3!$.

Donc l'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3. Vraie.

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc $g=f-1$ l'est aussi, et $g'=f'$ (la dérivée d'une constante est nulle).

Comme $f$ est solution de $y'=-y+1$, on a $f'=-f+1$. Donc

Donc l'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4. Fausse.

Pour tout entier $n\geqslant 1$, on a $-1\leqslant\sin(n)\leqslant 1$. En divisant par $n>0$ :

On a $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(-\dfrac1n\right)=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1n=0$.

D'après le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)$ converge et $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$.

Donc la suite $(u_n)$ admet une limite, égale à $0$ : l'affirmation 4 est fausse.

Affirmation 5. Fausse.

Les abscisses des points d'intersection de la parabole et de la droite vérifient

Sur $[0\,;3]$, la parabole est au-dessus de la droite, car $-x^{2}+4x+1-(x+1)=x(3-x)\geqslant 0$ sur cet intervalle.

L'aire du domaine grisé, exprimée en unités d'aire, est donc l'intégrale de la différence des fonctions :

Donc l'aire du domaine grisé est égale à $4{,}5$ unités d'aire, et non à $6{,}5$ : l'affirmation 5 est fausse.

Points clés attendus

• Concavité : calculer $f''$ avec soin (deux dérivations successives d'un produit), puis étudier son signe en justifiant chaque facteur.

• Dénombrement : groupes numérotés, donc pas de division par $3!$   faire apparaître le produit de coefficients binomiaux.

• Affirmation 3 : utiliser $g'=f'$ puis l'équation différentielle vérifiée par $f$.

• Citer le théorème des gendarmes avec l'encadrement de $\sin(n)$ pour conclure que la suite admet une limite.

• Aire : déterminer les bornes par résolution de l'équation, justifier la position relative des courbes, puis calculer l'intégrale.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.